ln може да се запише като = 1/x, докато log може да се запише като = x или = xlog?

Как се прилагат квадратните уравнения в ежедневието ни?

Квадратните уравнения често се използват в ежедневието. Силата на гравитацията е пропорционална на обратния квадрат на разстоянието от Земята, така снаряди, от топка за тенис до ракета, лети по параболична траектория.

Да предположим, че искате да разбъркате кафе, центростремителната сила на кафето е квадратична по природа, така че когато извадите лъжицата, осъзнавате, че образува параболоидна форма (представете си триизмерна парабола).

Квадратните уравнения често се използват при оптимизационни проблеми както в инженерството, така и във финансите, когато искате да минимизирате разходите за определена стока или да увеличите максимално печалбата, и понякога това може да се моделира чрез квадратни уравнения (макар и не винаги).

Начинът за определяне на съпротивлението на резисторите в паралел изисква работно разбиране за решаване на квадратни уравнения, ако знаете някои изводи, така че е важно да имате правилната комбинация от резистори, за да не разрушите важни елементи на веригата.

Параболичните огледала и микрофони използват същата характеристика на параболите и следователно параболоидите, което е, че те могат да концентрират отражения в една точка, което дава много добро изображение за телескоп или ясен сигнал от микрофон.

Сега някои все още ежедневни приложения, но в по-голям мащаб, са в ODE от 2-ри ред, които изискват помощно уравнение за решаване, което е квадратно уравнение, и чийто резултат определя функцията на цялата система.

Примери за използване на това уравнение са люлки, които използват просто хармонично движение, като пружините в колата ви или пружините в повечето механични устройства на земята.

Произход на квадратното уравнение

Вавилонците са първите, които изобретяват квадратни уравнения още през 2000 г. пр.н.е. Имаха нужда от тях за селскостопански и напоителни изчисления.

Гърците ги използват по-късно – Архимед прибягва до тях, за да намери стойността на радиуса на окръжност.

Днес ги използваме всеки ден за изчисляване на площ (с размер на кутия, всекидневна, парцел земя), за определяне на печалбата от дадена стока (колко от тази стока трябва да продам, за да реализирам печалба?) или за оценка на скоростта на обект (ако хвърля нещо по теб – нещо твърдо, – колко време ще отнеме това, което хвърлям, да попадне в твоите ръце?)

Причините за желанието да се намери решение на подобни проблеми не са напълно известни, но можем да правим предположения.

Например, те може да са имали определено количество материал, с който да оградят правоъгълно поле от дадена площ. Може би трябваше да знаят какво е идеалното количество материал, което да се използва за този периметър, или ако им е достатъчно.

Каквито и да са техните нужди, имаха решение на проблема. Те го записаха стъпка по стъпка, както следва:

х + г =с; ………………………………………… (1)

xy=а; ……………………………………………. (2)

(1) Намерете половината от с.

(2) Квадратирайте полученото число в 1.

(3) Извадете числото, намерено в 2 от а.

(4) Намерете квадратния корен на числото, намерено в 3.

(5) Добавете полученото число в 1 до числото, получено в 4. Това е дължината на една от страните.

Стъпка на изпълнение 4 беше най-трудната част, въпреки че е известно, че вавилонците са използвали квадратни маси, вероятно съдържа списък с квадратни числа, за приблизително квадратен корен от число.

Някои историци също приписват на вавилонците първото приложение на метода на Нютон, който беше използван специално за намиране на квадратни корени.

Интересното във всичко това е как квадратната формула (∗) произтича от такъв проблем. Microsoft MS-203, тук не решаваме квадратно уравнение, но двойка едновременни уравнения (1) и (2).

Това не е трудно да се види, използвайки днешните нотации. От (1) получаваме y=s-x, които при заместване в (2) дава:

х(с−х)=а.

сх−х2=а.

х2−сх+а=0.

По този начин, (1) и (2) са еквивалентни на решаването на квадратното уравнение x2-sx+a=0. Конкретно, това ни казва, че в това квадратно уравнение, коефициентът на x е отрицателната стойност на сумата от двете решения (ln може да се запише като = 1/x, докато log може да се запише като = x или = xlog (1) ), а коефициентът при едно е произведението на двете решения (ln може да се запише като = 1/x, докато log може да се запише като = x или = xlog (2) ).