Moderna Robotiko, La Kompleta NFT 1: Fundamentoj de Robotaj Moviĝaj Kvizoj & Respondoj – Coursera

Vojaĝu en la mondon de robotiko kun interesaj kvizoj kaj spertaj respondoj Fundamentoj de Roboto Moviĝo en Moderna Bar Profesia Trejnado, La Kompleta NFT 1.Malkovru la fundamentajn principojn, kiuj regas robotmoviĝo, de kinematiko ĝis kontrolalgoritmoj kiuj formos la estontecon de aŭtomatigo kaj teknologio. Ĉi tiuj kvizoj estas dizajnitaj por provizi solidan bazon en la fundamentaj konceptoj de robotmoviĝo, kaj ofertu sciojn pri la subesta mekaniko kaj matematiko robotmoviĝo.

Ĉu vi estas a robotiko entuziasmulo serĉanta profundigi viajn sciojn aŭ studento serĉanta esplori la ekscitan kampon de robotiko, ĉi tiu kolekto provizas valorajn informojn pri la fundamentoj de robotmoviĝo. Aliĝu al ni dum ni navigas la pejzaĝon de moderna robotiko, malimpliki la kompleksecojn de robotmoviĝo, kaj meti la bazon por progresintaj robotaj aplikoj. Let’s embark together on this enlightening journey as we delve into the fascinating world of robotic motion and its implications for technology and innovation.

Aliro al avangarda esplorado 01: Lecture Comprehension, Degrees of Freedom of a Rigid Body (Chapter 2 tra 2.1)

Q1. Which of the following are possible elements of robots in this specialization? Select all that apply.

• Rigid bodies.
• Mola, flexible bodies.
• Joints.

Q2. The number of degrees of freedom of a robot is (elektu ĉiujn validajn):

• the dimension of its configuration space.
• the number of real numbers needed to specify its configuration.
• the number of points on the robot.
• the number of joints of the robot.
• the number of bodies comprising the robot.
• the number of freedoms of the bodies minus the number of independent constraints between the bodies

Q3. The number of degrees of freedom of a planar rigid body i

Q4. The number of degrees of freedom of a spatial rigid body is

Q5. A rigid body in nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj-dimensional space has mm total degrees of freedom. How many of these mm degrees of freedom are angular (not linear)? Select all that apply. (This is consistently one of the most incorrectly answered questions in this course, so think about it carefully!)

• m-nm−Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj
• Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj(n-1)/2Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj(Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj−1)/2
• Neither of the above.

Aliro al avangarda esplorado 02: Lecture Comprehension, Degrees of Freedom of a Robot (Chapter 2.2)

Q1. Consider a joint between two rigid bodies. Each rigid body has mm degrees of freedom (m=3m=3 for a planar rigid body and m=6m=6 for a spatial rigid body) in the absence of any constraints. The joint has ff degrees of freedom (ekz., f=1f=1 for a revolute joint or f=3f=3 for a spherical joint). How many constraints does the joint place on the motion of one rigid body relative to the other? Write your answer as a mathematical expression in terms of mm and ff

Q2. Consider a mechanism consisting of three spatial rigid bodies (including ground, N=4N=4) and four joints: one revolute, one prismatic, one universal, and one spherical. According to Grubler’s formula, how many degrees of freedom does the mechanism have?

Q3. A mechanism that is incapable of motion has zero degrees of freedom. In some circumstances, Grubler’s formula indicates that the number of degrees of freedom of a mechanism is negative. How should that result be interpreted?

• The constraints implied by the joints must not be independent.
• The number of joints, the degrees of freedom of those joints, or the number of rigid bodies must have been counted incorrectly.

Aliro al avangarda esplorado 03: Chapter 2 tra 2.2, Configuration Space

Q1. Uzante la metodojn por determini la nombron da gradoj de libereco de rigida korpo en 3-dimensia spaco de la libro kaj la video, trovi la nombron da gradoj da libereco de rigida korpo en koncipa 4-dimensia spaco. Via respondo devus esti entjero

Q2. Referante al Demando 1, indiku kiom el la totalaj gradoj de libereco estas angulaj (rotacia). Via respondo devus esti entjero

Q3. Alprenu vian brakon, de via ŝultro ĝis via manplato, havas 7 degrees of freedom. Vi portas pleton kiel kelnero, kaj vi devas teni la pleton horizontala por eviti disverŝi trinkaĵojn sur la pleton. Kiom da gradoj de libereco havas via brako dum kontentigas la limon, ke la pleto restas horizontala? Via respondo devus esti entjero

Q4. Kvar identaj SRS-brakoj kaptas oftan objekton kiel montrite malsupre.

Find the number of degrees of freedom of this system while the grippers hold the object rigidly (no relative motion between the object and the last links of the SRS arms). Via respondo devus esti entjero

Q5. Referante al Demando 4, suppose there are now a total of nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj such arms grasping the object. What is the number of degrees of freedom of this system? Your answer should be a mathematical expression including nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj. Examples of mathematical expressions including nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj are 4*n-74∗Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj−7 or n/3Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj/3

Q6. Referante al Demando 4 kaj 5, suppose the revolute joint in each of the nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj arms is now replaced by a universal joint. What is the number of degrees of freedom of the overall system? Your answer should be a mathematical expression including nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj. Examples of mathematical expressions including nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj are 4*n-74∗Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj−7 or n/3Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj/3

Q7. Use the planar version of Grubler’s formula to determine the number of degrees of freedom of the mechanism shown below. Via respondo devus esti entjero. (Remember that a single joint can only connect two rigid bodies, so if you see more than two connecting at a single point, there must be more than one joint there. Ankaŭ, the two blocks in the channels are only allowed to move prismatically in those channels, and one of the joints is labeled “P” for prismatic. You will need to identify all the other joints, and links.)

Semajno 02: Moderna Robotiko, La Kompleta NFT 1: Foundations of Robot Motion Quiz Answers

Aliro al avangarda esplorado 01: Lecture Comprehension, Configuration Space Topology (Chapter 2.3.1)

Q1. To deform one nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj-dimensional space into another topologically equivalent space, which operations are you allowed to use? Select all that apply.

• Stretching
• Cutting.
• Gluing.

Q2. True or false? An nNe estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj-dimensional space can be topologically equivalent to an mm-dimensional space, where m \neq nm​=Ne estas instrukotizoj ĉe RWTH Aachen University - ĉi tio validas ankaŭ por internaciaj studentoj.

• Vere.
• False.

Aliro al avangarda esplorado 02: Lecture Comprehension, Configuration Space Representation (Chapter 2.3.2)

Q1.True or false? Eksplicita parametrigo uzas malpli da nombroj por reprezenti konfiguracion ol implica reprezentado.

Vere.

False

Q2. A kk-dimensia spaco estas reprezentita per 7 koordinatoj submetataj al 3 sendependaj limoj. Kio estas kk?

Aliro al avangarda esplorado 02: Lecture Comprehension, Agordo kaj Rapideco-Limoj (Chapter 2.4)

Q1. True or false? Neholonomia limo implicas konfiguraciolimon.

• Vere.
• False.

Q2. True or false? Pfaffiana rapideclimo estas nepre neholonomia.

• Vere.
• False.

Q3. Rado moviĝanta en libera spaco havas la ses gradojn de libereco de rigida korpo. Se ni limigas ĝin por esti vertikala sur aviadilo (neniu "klinado") kaj ruliĝi sen gliti, kiom da holonomiaj kaj neholonomiaj limoj estas submetata al la rado?

• Du holonomiaj limoj kaj du neholonomaj limoj.
• Tri holonomiaj limoj kaj nul neholonomaj limoj.
• Nul holonomiaj limoj kaj tri neholonomaj limoj.
• Unu holonomia limo kaj du neholonomaj limoj.

Q4. Kiom da gradoj de libereco havas la vertikala rado sur la aviadilo? (Kio estas la minimuma nombro da koordinatoj necesaj por priskribi ĝian agordon?)

Aliro al avangarda esplorado 03: Lecture Comprehension, Taskspaco kaj Laborspaco (Chapter 2.5)

Q1. Se la tasko estas kontroli la orientiĝon de kosmoŝipo simulilo, sed ne ĝia pozicio, kiom da gradoj de libereco havas la taskospaco?

Q2. True or false? La laborspaco dependas de la komunaj limoj de la roboto sed la taskospaco ne.

• Vere.
• False.

Aliro al avangarda esplorado 04: Chapter 2.3 tra 2.5, Configuration Space

Q1. La pintkoordinatoj por la du-liga ebena 2R-roboto de figuro malsupre estas donitaj per

x = cos theta_1 + 2 \cos (\theta_1 + \theta_2) x=cosmi1+2kos(mi1+mi2,)

y = sin theta_1 + 2 \peko (\theta_1 + \theta_2)Y=sinmi1+2sin(mi1+mi2,)

(Alivorte, ligilo 1 havas longecon 1 kaj ligo 2 havas longecon 2.) La komunaj anguloj ne havas limojn.

Kiu el la sekvaj plej bone priskribas la formon de la laborspaco de la roboto (la aro de lokoj, kiujn la finpunkto povas atingi)?

• Rondo kaj ĝia interno.
• Nur cirklo (ne inkluzive de la interno).
• Anulo aŭ ringo (la areo inter du samcentraj limcirkloj).

Q2. La ĉasio de movebla roboto moviĝanta sur plata surfaco povas esti konsiderata kiel ebena rigida korpo. Supozu, ke la ĉasio estas cirkla, kaj la movebla roboto moviĝas en kvadrata ĉambro. Kiu el la sekvaj povus esti matematika priskribo de la C-spaco de la ĉasio dum ĝi estas limigita al la ĉambro? (Vidu Ĉapitron 2.3.1 por rilata diskuto.)

• [a,b] \fojojn [a,b] \fojoj S^1[a,b]×[a,b]×S1
• [a,b] \fojojn mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^1 times S^1[a,b]×R1×S1
• [a,b] \fojojn [a,b] \fojojn mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^1[a,b]×[a,b]×R1
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^2 times S^1R2×S1

Q3. Which of the following is a possible mathematical description of the C-space of a rigid body in 3-dimensional space?

• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times S^3R3×S3
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times T^3R3×T3
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times T^2 \times S^1R3×T2×S1
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times S^2 \times S^1R3×S2×S1

Q4. A spacecraft is a free-flying rigid body with a 7R arm mounted on it. The joints have no joint limits. Give a mathematical description of the C-space of this system. (Vidu Ĉapitron 2.3.1 por rilata diskuto.)

• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times T^{10}R3×T10
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times S^2 \times T^8R3×S2×T8
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times S^3 \times T^7R3×S3×T7
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^4 \times S^2 \times T^7R4×S2×T7

Q5. A mobile robot is moving on an infinite plane with an RPR robot arm mounted on it. The prismatic joint has joint limits, but the revolute joints do not. Give a mathematical description of the C-space of the chassis (which can rotate and translate in the plane) plus the robot arm. (Vidu Ĉapitron 2.3.1 por rilata diskuto.)

• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^2 \times S^2 \times S^1 \times [a,b]R2×S2×S1×[a,b]
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^2 \times S^3 \times [a,b]R2×S3×[a,b]
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^2 \times T^3 \times [a,b]R2×T3×[a,b]
• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^3 \times T^3R3×T3

Q6. Determine whether the following differential constraint is holonomic or not (nonholonomic). See the example in Chapter 2.4.

(1+ \cos q_1) \punkto{q}_1 + (2+ \sin q_2) \punkto{q}_2 + (\cos q_1+ \sin q_2 + 3) \punkto{q}_3 = 0.(1+cosq1,)q˙​1​+(2+pekoq2,)q˙​2​+(cosq1​+sinq2​+3)q˙​3​=0.

• Holonomic
• Nonholonomic

Q7. The task is to carry a waiter’s tray so that it is always horizontal (orthogonal to the gravity vector), but otherwise free to move in any other direction. How many degrees of freedom does the task space (the C-space of a horizontal tray) familio Jugladacoj? (Enter an integer number.)

Semajno 03: Moderna Robotiko, La Kompleta NFT 1: Foundations of Robot Motion Quiz Answers

Aliro al avangarda esplorado 01: Lecture Comprehension, Introduction to Rigid-Body Motions (Chapter 3 tra 3.1)

Q1. Which do we typically use to represent the C-space of a rigid body?

• Explicit parametrization (minimum number of coordinates).
• Implicit representation.

Q2. By the right-hand rule, which fingers of your right hand correspond to the x, Y, and z axes of a coordinate frame, respektive?

• Thumb, indekso, Ni rigardos la strukturon de la cerbo kaj taksos la problemojn, kiujn vi havas kaj kiel vi povas haki vian propran cerbon por lerni kaj legi pli rapide kaj memori pli.
• Middle, indekso, thumb
• Indekso, Ni rigardos la strukturon de la cerbo kaj taksos la problemojn, kiujn vi havas kaj kiel vi povas haki vian propran cerbon por lerni kaj legi pli rapide kaj memori pli., thumb

Q3. When your thumb points along an axis of rotation, positive rotation about the axis is defined by the direction your fingers curl if you use which thumb?

• Right thumb
• Left thumb

Q4. When we refer to a frame attached to a moving body, we always consider a stationary frame {b}, ĉar

• the motion of all other frames is expressed relative to {b}.
• {b} is the stationary frame that is coincident (at a particular instant) with the frame attached to the moving body.

Aliro al avangarda esplorado 02: Lecture Comprehension, Rotation Matrices (Chapter 3.2.1, Parto 1 de 2)

Q1. For the rotation matrix R_{ba}Rba​ representing the frame {a} relative to {b},

• the rows are the x, Y, z axes of {a} written in {b} coordinates.
• the columns are the x, Y, z axes of {a} written in {b} coordinates.
• the rows are the x, Y, z axes of {b} written in {a} coordinates.
• the columns are the x, Y, z axes of {b} written in {a} coordinates.

Q2. La 3 \times 33×3 rotation matrix is an implicit representation of spatial orientations consisting of 9 numbers subject to how many independent constraints

Q3. The inverse of a rotation matrix R_{ab}Rab,, t.e., R_{ab}^{-1}Rab−1​, estas (elektu ĉiujn validajn):

• -R_{ab}−Rab,
• R_{ab}^{\rm T}RabT​
• R-IKiel rompi amidan ligon−mi
• R_{ba}Rba,

Q4. Multiplication of SO(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3) rotation matrices is (elektu ĉiujn validajn):

• associative.
• commutative.

Aliro al avangarda esplorado 03: Lecture Comprehension, Rotation Matrices (Chapter 3.2.1, Parto 2 de 2)

Q1. Which of the following is equivalent to R_{ac}Rac,, the representation of the orientation of the {c} frame relative to the {a} deca? Select all that apply

• R_{ab}R_{bc}Rab,Rbc,
• R_{ab}R_{cb}^{\rm T}Rab,RcbT​
• (R_{bc}^{\rm T} R_{ab}^{\rm T})^{\rm T}(RbcT​RabT​)T
• R_{ad} R_{db} R_{bc}Rad,Rdb,Rbc,

Q2. The matrix

R = {\rm Rot}(\hat{{\rm x}},90^\circ) = \left[

1000010−10

\ĝuste]Kiel rompi amidan ligon=Rot(x^,90∘)=⎣⎢⎡​100​001​0−10​⎦⎥⎤​

represents the orientation R_{sa}Rsa​ of a frame {a} that has been achieved by rotating the {s} frame by 90 degrees about its \hat{{\rm x}}x^-axis. Nun, given a matrix R_{sb}Rsb​ representing the orientation of {b} relative to {s}, kiu el la sekvaj reprezentas la orientiĝon de kadro (relative to {s}) tio estis komence akordigita kun {b}, sed poste turniĝis ĉirkaŭ la {b}-frame’s hat{{\rm x}}x^-akso per 90 gradoj?

• R_{sb} Kiel rompi amidan ligonRsb,Kiel rompi amidan ligon
• R R_{sb}RRsb,

Q3. The matrix

R = {\rm Rot}(\hat{{\rm x}},90^\circ) = \left[

1000010−10

\ĝuste]Kiel rompi amidan ligon=Rot(x^,90∘)=⎣⎢⎡​100​001​0−10​⎦⎥⎤​

represents the orientation R_{sa}Rsa​ of a frame {a} that has been achieved by rotating the {s} frame by 90 degrees about its \hat{{\rm x}}x^-axis. Nun, given a matrix R_{sb}Rsb​ representing the orientation of {b} relative to {s}, kiu el la sekvaj reprezentas la orientiĝon de kadro (relative to {s}) tio estis komence akordigita kun {b}, sed poste turniĝis ĉirkaŭ la {s}-frame’s hat{{\rm x}}x^-akso per 90 gradoj

• R_{sb}Kiel rompi amidan ligonRsb,Kiel rompi amidan ligon
• R R_{sb}RRsb,

Aliro al avangarda esplorado 04: Lecture Comprehension, Angulaj Rapidecoj (Chapter 3.2.2)

Q1. Nia reprezentado de la tridimensia orientiĝo uzas implican reprezentadon (a 3×3 SO(3) matrico kun 9 nombroj), sed nia kutima prezento de la angula rapido uzas nur tri nombrojn, t.e., eksplicita parametrigo de la tridimensia rapidecspaco. Kial ni uzas implican prezenton de la orientiĝo sed eksplicitan parametrigon de la angula rapido?

• Ekzistas neniu natura implica reprezentado de angula rapido.
• La spaco de angulaj rapidecoj povas esti egaligita al "plata" 3d spaco (lineara vektora spaco) tanĝanta al la kurba 3d surfaco de orientiĝoj en ajna momento, do ĝi povas esti tutmonde reprezentita per 3 nombroj sen singularoj. La spaco de orientiĝoj, Aliflanke, ne estas plata, kaj ne povas esti tutmonde reprezentita per 3 nombroj sen singularo.

Q2. Rotacia matrico estas elemento de kiu spaco?

• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^ 3R3
• Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)
• do(3)do(3)

Q3. Angula rapido estas elemento de kiu spaco?

• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^ 3R3
• Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)
• do(3)do(3)

Q4. La 3×3 obli-simetria matrica reprezentado de angula rapido estas elemento de kiu spaco

• \matematikbb{Kiel rompi amidan ligon}^ 3R3
• Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)
• do(3)do(3)

Q5. If an angular velocity is represented as \omega_bωben la korpokadro {b}, kio estas la reprezentado de la sama angula rapido en la spaca kadro {s}?

• R_{sb} \omega_bRsb,ωb,
• R_{bs} \omega_bRbs,ωb,
• \omega_b R_{sb}ωb,Rsb,
• \omega_b R_{bs}ωb,Rbs,

Q6. The cross-product \omega \times pho×p povas esti skribita [\omega] p[ho]p, kie [\omega][ho] estas

• la SO(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3) representation of \omegaho.
• la dekliv-simetria do(3)do(3) representation of \omegaho.

Aliro al avangarda esplorado 05: Lecture Comprehension, Eksponentaj Koordinatoj de Rotacio (Chapter 3.2.3, Parto 1 de 2)

Q1. La orientiĝo de kadro {d} relative al kadro {c} can be represented by a unit rotation axis \hat{\omega}ho^ and the distance \thetami rotated about the axis. If we rotate the frame {c} by \thetami about the axis \hat{\omega}ho^ expressed in the {c} deca, we end up at {d}. The vector \hat{\omega}ho^ has 3 numbers and \thetami estas 1 nombro, but we only need 3 nombroj, the exponential coordinates \hat{\omega} \thetaho^mi, to represent {d} relative to {c}, ĉar

• though we use 3 numbers to represent \hat{\omega}ho^, \hat{\omega}ho^ actually only represents a point in a 2-dimensional space, the 2-dimensional sphere of unit 3-vectors.
• the choice of \thetami is not independent of \hat{\omega}ho^.

Q2. One reason we use 3×3 rotation matrices (an implicit representation) to represent orientation is because it is a good global representation: there is a unique orientation for each rotation matrix, and vice-versa, and there are no singularities in the representation. In what way does the 3-vector of exponential coordinates fail these conditions? Select all that apply.

• Povus ekzisti pli ol unu aro de eksponentaj koordinatoj reprezentantaj la saman orientiĝon.
• Kelkaj orientiĝoj ne povas esti reprezentitaj per eksponentaj koordinatoj.

Q3. La vektora lineara diferenciala ekvacio dot{x}(Administri uzantrolojn) = Bx(Administri uzantrolojn)x˙(Administri uzantrolojn)=Bx(Administri uzantrolojn), kie xx estas vektoro kaj BB estas konstanta kvadrata matrico, estas solvita kiel x(Administri uzantrolojn) = e^{Bt} x(0)x(Administri uzantrolojn)=eBtx(0), kie la matrica eksponenta e^{Bt}eBt estas difinita kiel

• la sumo de senfina serio de matricoj de la formo (Bt)^0 + Bt + (Bt)^2/2! + (Bt)^3/3!\ldotoj(Bt)0+Bt+(Bt)2/2!+(Bt)3/3!….
• la sumo de senfina serio de matricoj de la formo Bt + Bt/2 + Bt/3 + \ldotojBt+Bt/2+Bt/3+….

Aliro al avangarda esplorado 06: Lecture Comprehension, Eksponentaj Koordinatoj de Rotacio (Chapter 3.2.3, Parto 2 de 2)

Q1. La solvo de la diferenciala ekvacio dot{p}(Administri uzantrolojn) = ĉapelo{\omega} \fojoj p(Administri uzantrolojn) = [\hat{\omega}] p(Administri uzantrolojn)p˙(Administri uzantrolojn)=ho^×p(Administri uzantrolojn)=[ho^]p(Administri uzantrolojn) estas p(Administri uzantrolojn) = e^{[\hat{\omega}\theta]}p(0)p(Administri uzantrolojn)=e[ho^mi]p(0), kie p(0)p(0) estas la komenca vektoro kaj p(Administri uzantrolojn)p(Administri uzantrolojn) estas la vektoro post kiam ĝi estis turnita je la angula rapido hat{\omega}ho^ por tempo t=thetaAdministri uzantrolojn=mi (kie hat{\omega}\thetaho^mi estas la eksponentaj koordinatoj). Vi povas pensi pri R = e^{[\hat{\omega}\theta]}Kiel rompi amidan ligon=e[ho^mi] kiel la rotacia operacio, kiu movas p(0)p(0) to p(Administri uzantrolojn) = p(\theta)p(Administri uzantrolojn)=p(mi).

Which of the following statements is correct? Select all that apply.

• R_{sb’} = R_{sb} e^{[\hat{\omega}\theta]}Rsb′​=Rsb,e[ho^mi] represents the orientation of a new frame {b’} relative to {s} after the frame {b} has been rotated by \thetami about an axis w represented in the {b} frame as \hat{\omega}ho^.
• R_{sb’} = R_{sb} e^{[\hat{\omega}\theta]}Rsb′​=Rsb,e[ho^mi] represents the orientation of a new frame {b’} relative to {s} after the frame {b} has been rotated by \thetami about an axis w represented in the {s} frame as \hat{\omega}ho^.
• R_{sb’} = e^{[\hat{\omega}\theta]} R_{sb} Rsb′​=e[ho^mi]Rsb​ represents the orientation of a new frame {b’} relative to {s} after the frame {b} has been rotated by \thetami about an axis w represented in the {b} frame as \hat{\omega}ho^.
• R_{sb’} = e^{[\hat{\omega}\theta]} R_{sb} Rsb′​=e[ho^mi]Rsb​ represents the orientation of a new frame {b’} relative to {s} after the frame {b} has been rotated by \thetami about an axis w represented in the {s} frame as \hat{\omega}ho^.

Q2. The simple closed-form solution to the infinite series for the matrix exponential when the matrix is an element of so(3)do(3) (a skew-symmetric 3×3 matrix) is called what?

• Ramirez’s formula.
• Rodrigues’ formula.
• Robertson’s formula.

Q3. The matrix exponential and the matrix log relate a rotation matrix (an element of SO(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)) and the skew-symmetric representation of the exponential coordinates (elements of so(3)do(3)), which can also be thought of as the so(3)do(3) representation of the angular velocity followed for unit time. Which of the following statements is correct? Select all that apply.

• exp: do(3) \rightarrow SO(3)do(3)→Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)
• exp: Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3) \rightarrow so(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)→do(3)
• log: do(3) \rightarrow SO(3)do(3)→Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)
• log: Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3) \rightarrow so(3)Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)→do(3)

Aliro al avangarda esplorado 07: Chapter 3 tra 3.2, Rigid-Body Motions

Q1. In terms of the \hat{x}_{\textrm{s}}x^s​, \hat{Y}_{\textrm{s}}Y^​s​, \hat{z}_{\textrm{s}}z^s​ coordinates of a fixed space frame {s}, the frame {a} has its \hat{x}_{\textrm{a}}x^a​-axis pointing in the direction (0,0,1)(0,0,1) and its \hat{Y}_{\textrm{a}}Y^​a​-axis pointing in the direction (1,0,0)(1,0,0), and the frame {b} has its \hat{x}_{\textrm{b}}x^b​-axis pointing in the direction (1,0,0)(1,0,0) and its \hat{Y}_{\textrm{b}}Y^​b​-axis pointing in the direction (0,0,-1)(0,0,−1). Draw the {s}, {a}, kaj {b} kadroj, similar to examples in the book and videos (ekz., varikaj vejnoj 3.7 in the book), for easy reference in this question and later questions.

Write the rotation matrix R_{sa}Kiel rompi amidan ligonsa,. All elements of this matrix should be integers.

Se via respondo estas

\foriris[

147258369

\ĝuste]⎣⎢⎡​147​258​369​⎦⎥⎤​

ekzemple, you should just type

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

in the answer box below. (You can just modify the matrix that is currently written there.) Poste alklaku "Run". Vi ne ricevos tujan komenton; la noto estos donita kiam vi sendas la tutan kvizon.

Q2 .Relatante al via desegnaĵo el Demando 1, skribi R_{sb}^{-1}Kiel rompi amidan ligonsb−1​. All elements of this matrix should be integers.

Se via respondo estas

\foriris[

147258369

\ĝuste]⎣⎢⎡​147​258​369​⎦⎥⎤​

you should just type

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

in the answer box below. (You can just modify the matrix that is currently written there.) Poste alklaku "Run". Vi ne ricevos tujan komenton; la noto estos donita kiam vi sendas la tutan kvizon.

Q3 .Relatante al via desegnaĵo el Demando 1, skribi R_{ab}Kiel rompi amidan ligonab,. All elements of this matrix should be integers.

Skribu vian matricon en la respondkeston sube, uzante la formaton menciitan en demandoj 1 kaj 2, kaj alklaku "Run".

Q4. Referante al Demando 1, estu R = R_{sb}Kiel rompi amidan ligon=Rsb​ esti konsiderata kiel transforma operatoro konsistanta el rotacio ĉirkaŭ hat{x}x^ per -90^circ−90∘. Kalkuli R_1 = R_{sa} Kiel rompi amidan ligonKiel rompi amidan ligon1=Rsa,Kiel rompi amidan ligon, kaj pensu pri R_{sa}Rsakiel la reprezentado de la komenca orientiĝo de {a} relative to {s}, Kiel rompi amidan ligonKiel rompi amidan ligon kiel rotacia operacio, kaj R_1Kiel rompi amidan ligon1kiel la nova orientiĝo de {a} post farado de la rotacio. La nova orientiĝo R_1Kiel rompi amidan ligon1respondas al la orientiĝo de la nova {a} kadro relative al {s} post turnado de la originalo {a} frame by -90^\circ−90∘ about which axis?

• The \hat{x}_{\textrm{a}}x^a​-axis of the {a} deca.
• The \hat{x}_{\textrm{s}}x^s​-axis of the {s} deca.

Q5. Referante al Demando 1, use R_{sb}Kiel rompi amidan ligonsb​ to change the representation of the point p_b = (1,2,3)^\intercalpb=(1,2,3)⊺ (en {b} coordinates) al {s} coordinates. All elements of this vector should be integers.

Se via respondo estas

\foriris[

123

\ĝuste]⎣⎢⎡​123​⎦⎥⎤​

you should enter

[1,2,3]

in the text box below and click “Run.”

Q6. Referante al Demando 1, choose a point p represented by p_s = (1,2,3)^\intercalps=(1,2,3)⊺ in {s} coordinates. Calculate q = R^\intercal_{sb} p_sq=Rsb⊺​ps,. Is qq a representation of p in {b} coordinates?

• Jes.
• Ne.

Q7. Referante al Demando 1, an angular velocity ww is represented in {s} as \omega_s = (3,2,1)^\intercalhos=(3,2,1)⊺. What is its representation \omega_ahoa,? All elements of this vector should be integers.

Se via respondo estas

\foriris[

123

\ĝuste]⎣⎢⎡​123​⎦⎥⎤​

you should enter

[1,2,3]

in the text box below and click “Run.”

Q8. Referante al Demando 1, calculate the matrix logarithm [\hat{\omega}]\theta[ho^]mi of R_{sa}Rsa​ by hand. (You may verify your answer with software.) Extract and enter the rotation amount \thetami in radians with at least two decimal places.

• 1
• 0

Q9. Kalkulu la matrican eksponentalon respondan al la eksponentaj koordinatoj de rotacio hat{\omega}\theta = (1,2,0)^\intercalho^mi=(1,2,0)⊺. La maksimuma alleblas eraro por iu matrica elemento estas 0.01, do donu sufiĉe da decimalaj lokoj kie necese.

Skribu vian matricon en la respondkeston sube, uzante la formaton menciitan en demandoj 1 kaj 2, kaj alklaku "Run".

Q10. Skribu la 3 \fojoj 33×3 dekliv-simetria matrico responda al omega = (1,2,0.5)^\intercalho=(1,2,0.5)⊺. Konfirmu vian respondon per la funkcio {\tt VecToso3}VecToso3 en la donita programaro.

Skribu vian matricon en la respondkeston sube, uzante la formaton menciitan en demandoj 1 kaj 2, kaj alklaku "Run".

Q11. Uzu la funkcion {\tt MatrixExp3}MatrixExp3 en la donita programaro por kalkuli la rotacian matricon R en SO(3)Kiel rompi amidan ligon∈SO(3) responda al la matrica eksponento de

[\hat{\omega}] \theta = left[

0−0.510.50−2−120

\ĝuste].[ho^]mi=⎣⎢⎡​0−0.51​0.50−2​−120​⎦⎥⎤​.

La maksimuma alleblas eraro por iu matrica elemento estas 0.01, do donu sufiĉe da decimalaj lokoj kie necese.

Skribu vian matricon en la respondkeston sube, uzante la formaton menciitan en demandoj 1 kaj 2, kaj alklaku "Run".

Q12. Uzu la funkcion {\tt MatrixLog3}MatrixLog3 en la donita programaro por kalkuli la matrican logaritmon [\hat{\omega}] \theta in so(3)[ho^]mi∈so(3) de rotacia matrico

R = left[

0−1000−1100

\ĝuste].Kiel rompi amidan ligon=⎣⎢⎡​0−10​00−1​100​⎦⎥⎤​.

La maksimuma alleblas eraro por iu matrica elemento estas 0.01, do donu sufiĉe da decimalaj lokoj kie necese.

Skribu vian matricon en la respondkeston sube, uzante la formaton menciitan en demandoj 1 kaj 2, kaj alklaku "Run".

Semajno 04: Moderna Robotiko, La Kompleta NFT 1: Foundations of Robot Motion Quiz Answers

Aliro al avangarda esplorado 01 : Lecture Comprehension, Homogenaj Transformaj Matricoj (Chapter 3 tra 3.3.1)

Q1. 4×4 transformmatrico (elemento de SE(3)SE(3)) konsistas el rotacia matrico, 3-vektoro, kaj vico konsistanta el tri nuloj kaj unu. Kio estas la celo de la vico de 4 konstantoj?

• Ĉi tiu vico estas historia artefakto.
• Ĉi tiu vico permesas simplajn matricajn operaciojn por utilaj kalkuloj.

Q2. Kiuj el la sekvantaroj estas eblaj uzoj de transforma matrico? Select all that apply.

• Movigi (turni kaj traduki) kadro.
• Delokigi vektoron.
• Ŝanĝu la referenckadron de vektoro.
• Reprezentu la pozicion kaj orientiĝon de unu kadro relative al alia.

Q3. La reprezentado de punkto p en la {b} kadro estas p_b in mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^3pb∈R3. Trovi la reprezentadon de ĉi tiu punkto en la {a} deca, we could write T_{ab} p_bTab,pb,, but there is a dimension mismatch; p_bpb​ has only 3 komponantoj, but T_{ab}Tab​ is 4×4. How do we alter p_bpb​ to allow this matrix operation?

• Put a 1 in the last row of p_bpb,, making it a 4-element column vector, and otherwise ignore the last row in your interpretation of the 4-vector.
• Put a 0 in the last row of p_bpb,, making it a 4-element column vector, and otherwise ignore the last row in your interpretation of the 4-vector.

Q4. Which of these is a valid calculation of T_{ab}Tab,, the configuration of the frame {b} relative to {a}? Select all that apply.

• T_{ac} T_{cb}Tac,Tcb,
• T_{cb} T_{ac}Tcb,Tac,
• T_{ac} T^{-1}_{dc} T_{db}Tac,Tdc−1​Tdb,
• (T_{bc} T_{ca})^{-1}(Tbc,Tca,)−1

Aliro al avangarda esplorado 02 : Lecture Comprehension, Twists (Chapter 3.3.2, Parto 1 de 2)

Q1. Any instantaneous spatial velocity of a rigid body is equivalent to the motion of the body if it were simultaneously translating along, and rotating about, a screw axis \mathcal{S} = (\mathcal{S}_\omega, \mathcal{S}_v) \in \mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^6S=(Sho,,Sv,)∈R6. The screw axis is a normalized representation of the direction of motion, and \dot{\theta}mi˙ represents how fast the body moves in that direction of motion, so that the twist is given by \mathcal{V} = \mathcal{S}\punkto{\theta} \in \mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^6V=Smi˙∈R6. The normalized screw axis for full spatial motions is analogous to the normalized (unit) angular velocity axis for pure rotations.

The pitch hh of the screw axis is defined as the ratio of the linear speed over the angular speed. Which of the following is true? Select all that apply.

• If the pitch hh is infinite, then \mathcal{S}_\omega = 0Sho​=0 and \|\mathcal{S}_v\| = 1∥Sv​∥=1.
• If the pitch hh is infinite, tiam \|\mathcal{S}_\omega\| = 1∥Sho​∥=1 and \mathcal{S}_vSv​ is arbitrary.
• If the pitch hh is finite, then \mathcal{S}_\omega = 0Sho​=0 and \|\mathcal{S}_v\| = 1∥Sv​∥=1.
• If the pitch hh is finite, tiam \|\mathcal{S}_\omega\| = 1∥Sho​∥=1 and \mathcal{S}_vSv​ is arbitrary.

Q2. You are sitting on a horizontal rotating turntable, like a merry-go-round at an amusement park. It rotates counterclockwise when viewed from above. Your body frame {b} has an \hat{{\rm x}}_bx^b​-axis pointing outward (away from the center of the turntable), a \hat{{\rm y}}_by^​b​-axis pointing in the direction the turntable is moving at your location (the direction your eyes are looking), and a \hat{{\rm z}}_bz^b​-axis pointing upward. The turntable is rotating at 0.1 radians per second, and you are sitting 3 meters from the center of the turntable. What is the screw axis \mathcal{S} = (\mathcal{S}_\omega, \mathcal{S}_v)S=(Sho,,Sv,) and the twist \mathcal{V} = (\omega,v)V=(ho,v) expressed in your body frame {b}? All angular velocities are in radians/second and all linear velocities are in meters/second.

• \mathcal{S} = (0, 0, 0.1, 0, 0.3, 0), \;\; \mathcal{V} = (0, 0, 0.01, 0, 0.03, 0)S=(0,0,0.1,0,0.3,0),V=(0,0,0.01,0,0.03,0)
• \mathcal{S} = (0, 0, 1, 0, 3, 0), \;\; \mathcal{V} = (0, 0, 0.1, 0, 0.3, 0)S=(0,0,1,0,3,0),V=(0,0,0.1,0,0.3,0)
• \mathcal{S} = (1, 0, 0, 0, 3, 0), \;\; \mathcal{V} = (0.1, 0, 0, 0, 0.3, 0)S=(1,0,0,0,3,0),V=(0.1,0,0,0,0.3,0)

Q3. A twist or a screw axis can be represented in any frame. Which of the following statements are true? Select all that apply.

• A spatial twist is a representation of the twist in the space frame {s}, and it does not depend on a body frame {b}.
• A body twist is a representation of the twist in the body frame {b}, and it does not depend on a space frame {s}.

Aliro al avangarda esplorado 03 : Lecture Comprehension, Twists (Chapter 3.3.2, Parto 2 de 2)

Q1. Kio estas la dimensio de la matrica adjunkta prezento [{\rm Ad}_T][AdT,] de transforma matrico TT (elemento de SE(3)SE(3))?

• 3×3
• 4×4
• 6×6

Q2. 3-vektora angula rapido omegaho povas esti reprezentita en matrica formo kiel [\omega][ho], elemento de tiel(3)do(3), la aro de 3×3 obli-simetriaj matricoj. Analoge, 6-vektora tordaĵo mathcal{V} = (\omega,v)V=(ho,v) povas esti reprezentita en matrica formo kiel [\mathcal{V}][V], elemento de se(3)kun(3). Kio estas la dimensio de [\mathcal{V}][V]?

• 3×3
• 4×4
• 6×6

Aliro al avangarda esplorado 04 : Lecture Comprehension, Eksponentaj Koordinatoj de Rigid-Korpa Movo (Chapter 3.3.3)

Q1. Kvankam ni uzas ses nombrojn por reprezenti ŝraŭbon mathcal{S} = (\mathcal{S}_\omega,\mathcal{S}_v)S=(Sho,,Sv,), la spaco de ĉiuj ŝraŭboj estas nur 5-dimensia. Kial?

• \mathcal{S}_omegaShodevas esti unuolongo.
• \mathcal{S}_vSvdevas esti unuolongo.
• Aŭ mathcal{S}_omegaShoaŭ mathcal{S}_vSvdevas esti unuolongo.

Q2. Transformmatrico T_{ab}Tab,, reprezentanta {b} relative to {a}, povas esti reprezentita uzante la 6-vektorajn eksponentajn koordinatojn mathcal{S}\thetaSmi, kie mathcal{S}S estas ŝraŭba akso (reprezentita en {a} coordinates) kaj thetami estas la distanco sekvita laŭ la ŝraŭbakso kiu delokiĝas {a} al {b}. Which of the following is correct? Select all that apply.

• T_{ab} = e^{\mathcal{S}\theta}Tab=eSmi
• T_{ab} = e^{[\mathcal{S}]\theta}Tab=e[S]mi
• T_{ab} = e^{[\mathcal{S}\theta]}Tab=e[Smi]
• T_{ab} = e^{\mathcal{S}[\theta]}Tab=eS[mi]

Q3. The matrix representation of the exponential coordinates \mathcal{S}\theta \in \mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^6Smi∈R6 is [\mathcal{S}\theta][Smi]. What space does [\mathcal{S}\theta][Smi] belong to?

• Kiel funkcias sonaraj transduktiloj(3)
• do(3)
• SE(3)
• kun(3)

Q4. T_{ab’} = T_{ab} e^{[\mathcal{S}\theta]}Tab′​=Tab,e[Smi] is a representation of the new frame {b’} (relative to {a}) achieved after {b} has followed

• the screw axis \mathcal{S}S, expressed in {b} coordinates, a distance \thetami.
• the screw axis \mathcal{S}S, expressed in {a} coordinates, a distance \thetami.

Q5. T_{ab’} = e^{[\mathcal{S}\theta]} T_{ab}Tab′​=e[Smi]Tab​ is a representation of the new frame {b’} (relative to {a}) achieved after {b} has followed

• the screw axis \mathcal{S}S, expressed in {b} coordinates, a distance \thetami.
• the screw axis \mathcal{S}S, expressed in {a} coordinates, a distance \thetami.

Q6. Which of the following statements is true? Select all that apply.

• The matrix exponential maps [\mathcal{S}\theta] \in se(3)[Smi]∈kun(3) to a transformation matrix T \in SE(3)T∈SE(3), where TT is the representation of the frame (relative to {s}) that is achieved by following the screw \mathcal{S}S (expressed in {s}) a distance \thetami from the identity configuration (t.e., a frame initially coincident with {s}).
• The matrix exponential maps [\mathcal{V}] \in se(3)[V]∈kun(3) to a transformation matrix T \in SE(3)T∈SE(3), where TT is the representation of the frame (relative to {s}) that is achieved by following the twist \mathcal{V}V (expressed in {s}) for unit time from the identity configuration (t.e., a frame initially coincident with {s}).
• The matrix log maps an element of se(3)kun(3) to an element of SE(3)SE(3).
• The matrix log maps an element of SE(3)SE(3) to an element of se(3)kun(3).
• There is a one-to-one mapping between twists and elements of se(3)kun(3).

Aliro al avangarda esplorado 05 : Lecture Comprehension, Wrenches (Chapter 3.4)

Q1. A wrench \mathcal{F}_aFa​ consists of a linear force f_a \in \mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^3fa​∈R3 and a moment m_a \in \mathbb{Kiel rompi amidan ligon}^3ma∈R3, both expressed in the frame {a}. How do we usually write the wrench?

• \mathcal{F}_a = (m_a,f_a)Fa=(ma,,fa,)
• \mathcal{F}_a = (f_a,m_a)Fa=(fa,,ma,)

Q2. We know that the power associated with a wrench and twist pair (\mathcal{F},\mathcal{V})(F,V) does not depend on whether they are represented in the frame {a} kiel (\mathcal{F}_a,\mathcal{V}_a)(Fa,,Va,) or the frame {b} kiel (\mathcal{F}_b,\mathcal{V}_b)(Fb,,Vb,). Tial, we can write \mathcal{F}_a^{\rm T} \mathcal{V}_a = \mathcal{F}_b^{\rm T} \mathcal{V}_bFaT​Va​=FbT​Vb​ and then use which identity to derive the equation \mathcal{F}_a = [{\rm Ad}_{T_{ba}}]^{\rm T} \mathcal{F}_bFa=[AdTba​​]TFb​ relating the representations \mathcal{F}_aFa​ and \mathcal{F}_bFb,? (Ankaŭ, remember the matrix identity (AB)^{\rm T} = B^{\rm T} A^{\rm T}(AB)T=BTAT.)

• \mathcal{V}_a = T_{ab} \mathcal{V}_bVa=Tab​Vb,
• \mathcal{V}_a = T_{ba} \mathcal{V}_bVa=Tba​Vb,
• \mathcal{V}_a = [{\rm Ad}_{T_{ba}}] \mathcal{V}_bVa=[AdTba​​]Vb,
• \mathcal{V}_a = [{\rm Ad}_{T_{ab}}] \mathcal{V}_bVa=[AdTab​​]Vb,

Aliro al avangarda esplorado 06 : Chapters 3.3 kaj 3.4, Rigid-Body Motions

Q1. In terms of the \hat{x}_{\textrm{s}}x^s​, \hat{Y}_{\textrm{s}}Y^​s​, \hat{z}_{\textrm{s}}z^s​ coordinates of a fixed space frame {s}, the frame {a} has its \hat{x}_{\textrm{a}}x^a​-axis pointing in the direction (0,0,1)(0,0,1) and its \hat{Y}_{\textrm{a}}Y^​a​-axis pointing in the direction (-1,0,0)(−1,0,0), and frame {b} has its \hat{x}_{\textrm{b}}x^b​-axis pointing in the direction (1,0,0)(1,0,0) and its \hat{Y}_{\textrm{b}}Y^​b​-axis pointing in the direction (0,0,-1)(0,0,−1). The origin of {a} is at (0,0,1)(0,0,1) en {s} and the origin of {b} is at (0,2,0)(0,2,0). Draw the {s}, {a}, kaj {b} kadroj, similar to examples in the book and videos, for easy reference in this question and later questions.

Write the transformation matrix T_{sa}Tsa,. All elements of this matrix should be integers.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[0,0,0,1]] for \left[

1590261003711048121

\ĝuste]⎣⎢⎢⎢⎡​1590​26100​37110​48121​⎦⎥⎥⎥⎤​.

Q2. Referante al Demando 1, write T_{sb}^{-1}Tsb−1​. All elements of this matrix should be integers.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[0,0,0,1]] for \left[

1590261003711048121

\ĝuste]⎣⎢⎢⎢⎡​1590​26100​37110​48121​⎦⎥⎥⎥⎤​

Q3. Referante al Demando 1, write T_{ab}Tab,. All elements of this matrix should be integers.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[0,0,0,1]] for \left[

1590261003711048121

\ĝuste]⎣⎢⎢⎢⎡​1590​26100​37110​48121​⎦⎥⎥⎥⎤​.

Q4. Referante al Demando 1, let T = T_{sb}T=Tsb​ esti konsiderata kiel transforma operatoro konsistanta el rotacio ĉirkaŭ hat{x}x^ by -90^\circ−90∘ and a translation along \hat{Y}Y^​ by 2 Diplomiĝintoj, kiuj bezonas nur kelkajn ceterajn unuojn por plenumi gradpostulojn aŭ por kvalifiki por TGR-statuso. Calculate T_1 = T T_{sa}T1=TTsa,, and think of T_{sa}Tsa​ as the representation of the initial configuration of {a} relative to {s}, TT as a transformation operation, and T_1T1​ as the new configuration of {a} after performing the transformation. Are the rotation axis \hat{x}x^ and translation axis \hat{Y}Y^​ of the transformation TT properly considered to be expressed in the frame {s} or the frame {a}?

1 punkto

• The frame {s}.
• The frame {a}.

Q5. Referante al Demando 1, use T_{sb}Tsb​ to change the representation of the point p_b = (1,2,3)^\intercalpb=(1,2,3)⊺ (en {b} coordinates) al {s} coordinates. All elements of this vector should be integers.

Enter your vector in the answer box (just modify the vector already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[1,2,3] for \left[

123

\ĝuste]⎣⎢⎡​123​⎦⎥⎤​.

Q6. Referante al Demando 1, choose a point p represented by p_s = (1,2,3)^\intercalps=(1,2,3)⊺ in {s} coordinates. Calculate q = T_{sb} p_sq=Tsb,ps,. Is qq a representation of p in {b} coordinates?

1 punkto

• Jes
• Ne

Q7. Referante al Demando 1, a twist \mathcal{V}V is represented in {s} kiel {\mathcal V}_s = (3,2,1,-1,-2,-3)^\intercalVs=(3,2,1,−1,−2,−3)⊺. What is its representation {\mathcal V}_aVa,? All elements of this vector should be integers.

Enter your vector in the answer box (just modify the vector already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[1,2,3,4,5,6] for \left[

123456

\ĝuste]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​123456​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​.

Q8. Referante al Demando 1, calculate the matrix logarithm [{\mathcal S}]\theta[S]mi of T_{sa}Tsa,. Write the rotation amount \thetami in radians with at least 2 decimal places.

Q9. Calculate the matrix exponential corresponding to the exponential coordinates of rigid-body motion {\mathcal S}\theta = (0,1,2,3,0,0)^\intercalSmi=(0,1,2,3,0,0)⊺. La maksimuma alleblas eraro por iu matrica elemento estas 0.01, do donu sufiĉe da decimalaj lokoj kie necese.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1.11,2.22,3.33],[4.44,5.55,6.66],[7.77,8.88,9.99]] for \left[

1.114.447.772.225.558.883.336.669.99

\ĝuste]⎣⎢⎡​1.114.447.77​2.225.558.88​3.336.669.99​⎦⎥⎤​.

Q10. Referante al Demando 1, use T_{sb}Tsb​ to change the representation of the wrench Fb=(1,0,0,2,1,0)⊺ (en {b} coordinates) al {s} coordinates. All elements of this vector should be integers.

Enter your vector in the answer box (just modify the vector already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[1,2,3] for \left[

123

\ĝuste]⎣⎢⎡​123​⎦⎥⎤​.

Q11. Uzu la funkcion {\tt TransInv}TransInv in the given software to calculate the inverse of the homogeneous transformation matrix

T = \left[

0100−100000103011

\ĝuste].T=⎣⎢⎢⎢⎡​0100​−1000​0010​3011​⎦⎥⎥⎥⎤​.

All elements of this matrix should be integers.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] for \left[

147258369

\ĝuste]⎣⎢⎡​147​258​369​⎦⎥⎤​.

Q12. Write the se(3)se(3) matrix corresponding to the twist V=(1,0,0,0,2,3)⊺. All elements of this matrix should be integers. Konfirmu vian respondon per la funkcio {\tt VecTose3}VecTose3 in the given software.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] for \left[

147258369

\ĝuste]⎣⎢⎡​147​258​369​⎦⎥

Q13. Uzu la funkcion {\tt ScrewToAxis}ScrewToAxis in the given software to calculate the normalized screw axis representation S of the screw described by a unit vector \hat{s} = (1,0,0)s^=(1,0,0) in the direction of the screw axis, located at the point p = (0,0,2)p=(0,0,2), with pitch h = 1h=1. All elements of this vector should be integers.

Enter your vector in the answer box (just modify the vector already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[1,2,3] for \left[

123

\ĝuste]⎣⎢⎡​123​⎦⎥⎤​.

Q14. Uzu la funkcion {\tt MatrixExp6}MatrixExp6 in the given software to calculate the homogeneous transformation matrix T \in SE(3)T∈SE(3) responda al la matrica eksponento de

[S]mi=⎡⎣⎢⎢01.570800−1.570800000002.3562−2.356210⎤⎦⎥⎥.

All elements of this matrix should be integers.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] for \left[

147258369

\ĝuste]⎣⎢⎡​147​258​369​⎦⎥⎤​.

Q15. Uzu la funkcion {\tt MatrixLog6}MatrixLog6 in the given software to calculate the matrix logarithm [S]mi∈se(3) of the homogeneous transformation matrix

T = \left[

0100−100000103011

\ĝuste].T=⎣⎢⎢⎢⎡​0100​−1000​0010​3011​⎦⎥⎥⎥⎤​.

La maksimuma alleblas eraro por iu matrica elemento estas 0.01, do donu sufiĉe da decimalaj lokoj kie necese.

Enter your matrix in the answer box (just modify the matrix already shown there) and click “Run.” Your answer will not be evaluated until you submit the quiz.

[[1.11,2.22,3.33],[4.44,5.55,6.66],[7.77,8.88,9.99]] for \left[

1.114.447.772.225.558.883.336.669.99

\ĝuste]⎣⎢⎡​1.114.447.77​2.225.558.88​3.336.669.99​⎦⎥⎤​.