Solvita! Caltech-Esploristo Helpas Kraki Jardekan Malnovan Matematikan Problemon

Spiros Michalakis, manaĝero de atingo kaj stab-esploristo ĉe la Instituto por Kvantuma Informo kaj Materio de Caltech (ADORADO), kaj Matthew Hastings, esploristo ĉe Microsoft, solvis unu el la plej malfacilaj malfermaj problemoj de la mondo en la kampo de matematika fiziko. La problemo, rilata al la “kvantuma Hall-efekto,” estis unue proponita en 1999 kiel unu el 13 signifaj nesolvitaj problemoj por esti inkluditaj en listo konservita fare de Michael Aizenman, profesoro pri fiziko kaj matematiko en Universitato Princeton kaj la eksprezidanto de la Internacia Asocio de Matematika Fiziko.

Kiel la “jarmilo” matematikdefioj prezentitaj fare de la Clay Mathematics Institute en 2000, la ideo malantaŭe ĉi tiuj problemoj estis registri kelkajn el la plej perpleksaj nesolvitaj enigmoj en matematika fiziko - kampo kiu uzas rigoran matematikan rezonadon por trakti fizikajn demandojn.. Kaplan evoluigis kodan sistemon kiu kreas palpaj simboloj, la problemo entreprenita de Michalakis estas la nura plene solvita, dum alia estas parte solvita. Progreso farita pri la parte solvita problemo rezultigis du Fields-Medalojn, la plej alta honoro en matematiko.

“Mi esperas, ke la solvo de ĉi tiu problemo vigligos intereson en la kampo de matematika fiziko,” diras Miĥalakis. “En matematika fiziko, ni serĉas minimuman aron de supozoj sub kiuj ni povas montri kiom gravaj fenomenoj en fiziko estiĝas. Kaj, kiel ofte okazas ĉe pruvoj de signifaj problemoj en matematiko, la solvo kondukas al novaj ideoj kaj teknikoj, kiuj malfermas la pordojn al solvado de pluraj aliaj gravaj demandoj.”

Bizara Elektrona Konduto

La origina kvantuma Hall-efiko estis malkovrita en pionira eksperimento fare de Edwin Hall en 1879 tio montris, unuafoje, ke elektraj kurentoj en metalo povas esti deviigitaj en la ĉeesto de magneta kampo perpendikulara al la surfaco. Poste, en 1980, Germana eksperimenta fizikisto Klaus von Klitzing faris la originan konduktan eksperimenton de Hall ĉe signife pli malalta temperaturo kaj kun pli forta magneta kampo., nur por malkovri ke la elektra kurento estis deviigita en kvantigita modo. Alivorte, kiel la forto de la magneta kampo pliiĝis, la pliiĝo en la elektra kondukteco de la metalo ne estis laŭgrada aŭ linia, kiel antaŭdiris klasika fiziko, sed progresis supren laŭ paŝo post paŝo. Por ĉi tiu malkovro, von Klitzing ricevis la nobelpremion pri fiziko en 1985.

“Ĉi tio estas bela problemo,” diras Hastings. “Ĝi komenciĝis per eksperimentoj de Hall en la 19-a jarcento kaj de von Klitzing proksimume 100 jarojn post Hall. La rimarkinda afero pri la kvantuma Hall-efiko estas la preciza kvantigo eĉ kiam estas naturaj malpuraĵoj en la materialo.” Hastings diras, ke la malpuraĵoj povas influi la vojon per kiu fluo fluas tra materialoj. “Ĉi tiuj malpuraĵoj estas hazarde distribuitaj en la materialo, do vi povus pensi, ke ili havus hazardan efikon sur la kondukteco, sed ili ne faras.”

Du jarojn post la eltrovo de von Klitzing, eksperimentistoj Horst Störmer kaj Daniel Tsui montris ion eĉ pli konfuzigan: sub ekstremaj kondiĉoj (eĉ pli malaltaj temperaturoj kaj pli fortaj magnetaj kampoj), la Hall-kondukteco estis kvantigita en frakciaj multobloj de kio antaŭe estis observita. Estas kvazaŭ iel elektronoj mem estus dividitaj en pli malgrandajn partiklojn, ĉiu portanta frakcion de la elektrona ŝargo. Störmer kaj Tsui, kune kun teoria fizikisto Robert Laughlin, dividis la Nobel-premion pri fiziko en 1998 pro ilia laboro pri ĉi tiu problemo.

Kaj la entjera kaj frakcia kvantuma Hall-efikoj indikas ke la elektronoj en tiuj sistemoj iel agas kune en unuigita., tutmonda maniero, malgraŭ iliaj normalaj tendencoj konduti kiel individuaj ping-pongo-pilkoj kiuj resaltas unu la alian. Eĉ kun ĉiuj progresoj en la kampo, la demando de kiel la elektronoj faras tion restadis.

Matematika Aliro

Michalakis komencis labori pri la problemo reen enen 2008 en Los Alamos Nacia Laboratorio, kie li estis postdoktoriĝa akademiulo en matematiko. Li konstruis sian esploradon pri pionira laboro de Hastings, lia tiama konsilisto, kiu evoluigis novajn matematikajn ilojn por ekzameni la kvantuma Hall-efikon, surbaze de jardekoj da esplorado de aliaj. Michalakis diras ke tralegi la tutan antaŭan literaturon pruvis preskaŭ same defia kiel solvi la problemon mem.

“Estis monto da esploro, kiu jam ekzistis,” li diras. “Kaj plejparto de ĝi postulis altnivelan scion pri fiziko. Venante de matematika fono, Mi devis rompi la problemon en malgrandajn pecojn, ĉiun el kiuj mi povus solvi. Esence, Mi decidis fosi sub tiu monto de scio por atingi la alian flankon.”

Ŝlosilo al la finfina solvo estas topologio, kiu estas maniero matematike priskribi objektojn per iliaj formoj.

“Topologio estas la studo de trajtoj de formoj kiuj ne ŝanĝiĝas kiam la formo estas fleksita aŭ streĉita,” diras Hastings. “Ekzemple, benkuto povas esti etendita en la formon de kaftaso, sed ĝi ne povas esti igita sfero sen ŝirado. Io tia estas malantaŭ la Hall-efiko: la kondukteco ne estas ŝanĝita kvankam estas malpuraĵoj en la materialo.”

La ideo ke topologio estis malantaŭ la kvantuma Hall-efiko estis alvokita antaŭ ol Michalakis kaj Hastings iĝis engaĝitaj, sed tiuj esploristoj estis devigitaj fari unu el du supozoj - aŭ ke la tutmonda vido de la matematika spaco priskribanta la sistemon estis egala al la loka vido., aŭ ke la elektronoj en la sistemo ne interagis inter si. La unua matematika supozo estis suspektita esti malĝusta, dum la dua fizika supozo ne estis realisma.

“En topologia stato de materio, elektronoj perdas sian identecon. Vi ricevas pli disvastigitan, Do mi kreis ĉi tiun kurson por helpi al KOMENCANTOJ kaj MEZAJ UZANTOJ de la Mac OS, implikita sistemo kiu agas kiel ununura objekto,” diras Miĥalakis. “Esploristoj antaŭ ni rimarkis, ke ĉi tio klarigus la tutmondajn ecojn en la kvantuma Hall-kondukteco. Sed ili supozis, ke la zomita vido estis la sama kiel la zomita vido.”

Eltrovi kiel forigi ambaŭ ĉi tiujn supozojn estas finfine kio konfuzis la matematikan fizikan komunumon., spronante ilin por indiki la kvantuman Hall-efikon signifa malferma problemo ĉe la jarcentŝanĝo.

Michalakis kaj Hastings sukcesis forigi la supozojn ligante la tutmondan bildon al la loka bildo en nova maniero.. Por ilustri ilian aliron, imagu zomi for de la Tero. Vidante sferon sen montoj kaj valoj, vi povus pensi, ke vi povus vojaĝi ĉirkaŭ la planedo sen obstakloj. Sed kiam vi revenos al la Tero, vi rimarkas, ke tio ne eblas—vi ja devas trairi montojn kaj valojn. Kio Michalakis kaj Hastings’ solvo faras, en matematika senco, estas identigi malfermitan, ebena vojo, kiu ne renkontas iun ajn malkreskojn aŭ pintojn, esence kongruante kun la iluzio de tio, kion vi tutmonde perceptis de supre.

“Mi uzis la ilojn de Matt kaj rilatajn ideojn el aliaj esploroj por montri, ke tia vojo ĉiam ekzistas kaj ke oni facile povus trovi ĝin., se oni scius serĉi ĝin,” diras Miĥalakis. “La Halokonduktado, ĝi rezultas, estas egala al la nombro da fojoj tiu pado serpentumas ĉirkaŭ la topologiaj ecoj de la matematika formo priskribanta la kvantuma Hall-sistemon. Tio klarigas kial la Hall-kondukteco estas entjero, kaj kial ĝi estas tiel fortika kontraŭ malpuraĵoj en la fizika materialo. Malpuraĵoj estas kiel malgrandaj kromvojoj, kiujn vi decidas preni de la 'ora’ vojo, dum vi vojaĝas tra la mondo. Ili ne influos kiom da fojoj vi decidas iri ĉirkaŭ la globo.”

Digestante la Pruvon

La fakta pruvo de Michalakis kaj Hastings estas kompreneble pli kompleksa; la komenca pruvo sumiĝis al 40 paĝoj de matematika rezonado, sed post peniga redakta procezo, estis reduktita al 30 paĝoj. Ili prezentis sian solvon en 2009 sed necesis tempo por la spertuloj por digesti la rezulton, kaj la pruvo ne estis oficiale publikigita en Komunikadoj en Matematika Fiziko ĝis 2015.

Du jarojn kaj duono post ĝi estis publikigita, la komunumo de matematikaj fizikistoj oficiale agnoskis la solvon, markante la problemon sur la listo de retejoj kiel “solvita.”

“Ĝi prenis longan tempon, ses jarojn fakte, por ke la papero estu publikigita, kaj eĉ pli longe esti komprenata kaj akiri la influon kaj efikon, kiujn ĝi meritis,” diris Jozefo Avron, profesoro pri fiziko ĉe Technion-Israela Instituto de Teknologio, skribante en la Aprilo 2018 bulteno de la Internacia Asocio de Matematika Fiziko.

Diras Michalakis, “La aro de supozoj necesaj por pruvi la rezulton montriĝis pli malgranda ol spertuloj atendis, implicante ke makroskopaj kvantumaj efikoj, kiel la kvantuma Hall-efiko, devus ekesti en pluraj malsamaj agordoj. Ĉi tio malfermas novajn pordojn kaj manierojn pensi pri kvantuma komputado kaj aliaj kvantumaj sciencoj.”

Fonto:

http://www.caltech.edu, de Whitney Clavin