¿Cuál es la aritmética detrás de la cuadrícula en blanco de Sudoku??

Sudoku Blank Grid se usa en la simetría de Sudoku,implica filas y columnas de 4 × 4, 16 × 16 y más con cuadrículas pequeñas y variantes.

Los rompecabezas de Sudoku se pueden estudiar matemáticamente para responder preguntas como “¿Cuántas cuadrículas de Sudoku completas?”, “¿Cuál es el número mínimo de pistas en un rompecabezas real??” y “¿Cómo pueden ser simétricas las cuadrículas de Sudoku??” mediante el uso de teorías combinatorias y de grupos.

Los principales resultados son que para el Sudoku clásico, el número de cuadrículas completadas es 6,670,903,752,021,072,936,960 (6.67×1021), cual, conservando la validez de la transformación se reduce a 5,472,730,538 grupos significativamente diferentes.

Existen 26 tipos de simetria, pero solo se pueden encontrar en aproximadamente 0.005% de todas las cuadrículas llenas.

Un rompecabezas con una solución única debe tener al menos 17 Activar SAP, y por cada red resuelta no hay más que 21 Activar SAP. El rompecabezas mínimo encontrado más grande tiene 40 pistas.

Se conocen resultados similares para variantes y cuadrículas más pequeñas.. Los resultados precisos no son conocidos para Sudokus más que la cuadrícula clásica de 9 × 9, aunque hay estimaciones que se consideran bastante precisas.

Soluciones de cálculo para Sudoku

Una pregunta interesante es, de cuantas maneras puede un 9 por 9 Rellene la cuadrícula de Sudoku para satisfacer la regla única?

En otras palabras, ¿Cuántas soluciones diferentes de Sudoku existen?? Describimos el método utilizado por Bertram Felgenhauer y Fraser Jarvis a principios 2006 para calcular este numero.

Para mantener el estándar de nuestro idioma., llamamos tres filas de bloques tiras de una cuadrícula y tres columnas de bloques pilas. Se considera que una celda en esta fila y la columna j están en (yo,j).

Llamamos al número de cuadrículas individuales Sudoku N. primero, llamamos a los bloques de cuadrícula de la siguiente manera:

¿Cuántas formas hay de llenar B1 de manera válida?? Puesto que hay 9 caracteres que pueden llenar B1, uno en cada celda, es decir 9 opciones para la primera celda.

para cada uno de estos 9 A nuestros estudiantes les encantan estos exámenes de práctica de alta calidad porque simulan el examen de certificación real y los ayudan a comprender los conceptos de AWS, existen 8 opciones para la segunda celda. para cada uno de estos 8 A nuestros estudiantes les encantan estos exámenes de práctica de alta calidad porque simulan el examen de certificación real y los ayudan a comprender los conceptos de AWS, existen 7 izquierda para la tercera celda.

Básicamente, Calculamos el número de permutaciones de 9 caracteres: de cuantas maneras podemos colocar 9 personajes en 9 lugares, o de cuantas maneras podemos ordenar 9 cosas.

Existen 9 Formas de completar B1. Comenzando con un bloque B1 válido, podemos obtener cualquier otro bloque B1 válido al volver a marcar o reorganizar los números.

Asi que, la primera suposición simplificadora que podemos hacer es que B1 está lleno de números 1, 2, 3, …, 9 en orden, Como se muestra abajo.

Ahora podemos calcular cuántos finales de cuadrícula reales tiene este B1 en particular: llamémoslo N1. El número total de cuadrículas de Sudoku reales es N1 × 9!, entonces N1=N/9!…

Consideremos las formas de llenar las primeras filas en B2 y B3. Ya que 1, 2 y 3 ocurren en la primera fila en B1, estos números no pueden aparecer en las otras filas.

Por lo tanto, solo los numeros 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de la segunda y tercera fila de B1 pueden encontrarse en la primera fila en B2 y B3.

Enumere todas las formas posibles de llenar las primeras filas en B2 y B3, hasta reordenar los números en cada bloque. Propina: Hay diez formas de hacer esto, de modo que el intercambio de B2 y B3 estas diez formas le dieron diez formas más, un total de veinte.

A dos de estas posibilidades las llamamos líneas superiores puras.: cuando numeros {4,5,6}, como en la segunda fila de B1, se almacenan juntos en B2, y numeros {7,8,9}, como en la tercera fila de B1, se almacenan juntos en B3, y una versión modificada de este.

Las otras posibilidades son líneas superiores mixtas., mientras mezclan los conjuntos {4,5,6} y {7,8,9} cuando se usa para llenar las primeras líneas de B2 y B3.

Dadas estas veinte posibilidades para la primera línea de la parrilla (hasta reordenar los números en cada bloque), podemos averiguar cómo llenar la primera línea.

Piensa en cómo puedes completar la primera banda comenzando con la fila superior pura 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

(Nota: estamos escribiendo un,si,c para denotar un triple ordenado de números y {una,si,do} para indicarlos en cualquier orden.)

Cuantas posibilidades en total hay, contando diferentes órdenes de números dentro de cada fila en B2 y B3? ¿Es este número el mismo que para la otra fila superior pura?, 1,2,3;{7,8,9};{4,5,6}?

Recuerda, queremos mantener B1 fijo porque ya hemos tenido en cuenta la cantidad de cuadrículas que se pueden obtener al volver a etiquetar los nueve dígitos en él.

resulta que hay (3!)⁶ formas de completar la primera banda mirando con la fila superior pura 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

Esto se debe a que nos vemos obligados a poner {7,8,9};{1,2,3} en la segunda fila en B2 y B3 y {1,2,3};{4,5,6} en la tercera fila, y luego podemos reordenar los tres dígitos en cada una de las seis filas de B2 y B3 para obtener todas las configuraciones.

La respuesta es la misma para la otra fila superior pura, ya que en este caso todo lo que hemos hecho es intercambiar B2 con B3.

Los casos de las filas superiores mixtas son más complicados.. Consideremos la fila superior 1,2,3;{4,6,8};{5,7,9}. Esto se puede completar hasta la primera banda como en la siguiente imagen, donde un, si, y c son los números 1, 2, 3 en cualquier orden.

Después de seleccionar un, b y c son los dos números restantes en cualquier orden, como estan en la misma fila.

Dado que hay tres opciones para un, y se pueden omitir tres dígitos en cada uno de los seis conjuntos en B2 y B3 para obtener diferentes portadas válidas, el número total de configuraciones en este caso es 3×(3!)6.

De manera similar, puede trabajar en cada uno de los diecisiete casos restantes de la primera fila para obtener el mismo número.

Ahora tenemos el número de portadas posibles definidas por B1: esto es 2 ×(3!)6+18×3×(3!)6=2612736, donde la primera parte de la suma es el número de primeras páginas completadas de las filas superiores netas y la segunda es la cantidad de primeras páginas completadas de las filas superiores mixtas.

En lugar de calcular cuántas portadas completadas de cada uno de estos 2612736 caracteristicas, Felgenhauer y Jarvis determinaron qué portadas tienen el mismo número de páginas completas desde el espacio en blanco superior.

Este análisis reduce el número de portadas a tener en cuenta a la hora de calcular.

Aquí hay algunas operaciones que dejan sin cambios el número de finales de la cuadrícula del primer rango: remarcando los numeros, escuchando cualquiera de los bloques en el primer rango, escuchando las columnas en cualquier bloque y escuchando las tres filas del rango. Con cualquiera de estos cambios B1, podemos volver a marcar los números para restaurar su forma estándar.

Organizar B1, B2 y B3 mantienen el número de finales de cuadrícula, porque si comenzamos con cualquier cuadrícula de Sudoku real, la única forma de mantenerlo real es marcar B4, B5, B6 y B7, B8, B9 respectivamente para que las pilas sigan siendo las mismas.

En otras palabras, cada terminación de cuadrícula de portada real da exactamente una terminación de cuadrícula de portada real, es decir. cualquier B1, B2, permutación B3.
Asegúrese de que cuando cambie B2 a B3 en la próxima cuadrícula de Sudoko, la única forma de mantener la cuadrícula válida es cambiar B5 a B6 y B7 a B8. Esto mantendrá las pilas iguales, aunque su ubicación ha cambiado.

Si tiene una cuadrícula de Sudoku válida y está saltando columnas en cualquiera de B1, B2 y B3, ¿Qué tendrías que hacer con las columnas del resto de la cuadrícula de Sudoku para mantenerlo válido?? Por ejemplo, si cambiaste de columna 1 y 2 de B2 en la cuadrícula anterior, ¿Cómo arreglaría la cuadrícula resultante para que satisfaga la Regla Única??

El último ejercicio nos dice que cada relleno de la cuadrícula de la primera fila da un relleno único de la cuadrícula de la primera fila con columnas omitidas dentro de los bloques..

Estas consideraciones nos permiten reducir el número de portadas específicas que deben tenerse en cuenta al contar.

Siguiendo a Felgenhauer y Jarvis, nos desplazamos por las columnas B2 y B3 para que las entradas de la fila superior de cada columna estén en orden ascendente, y luego intercambie B2 y B3 si es necesario para que la primera entrada B2 sea más pequeña que la entrada B3.

Esto se llama abreviatura lexicográfica..

Como cada uno de los dos bloques tiene 6 reorganizaciones de columnas y dos formas de reorganizar bloques, la taquigrafía lexicográfica nos dice que, dada la primera pagina, hay 62 × 2 = 72 otras portadas con el mismo número de finales de cuadrícula.

Así que ahora solo tenemos 2612736/72=36288 portadas para considerar.

Para cada una de estas posibilidades, veamos las reorganizaciones de los tres bloques superiores.: existen 6. Para cada uno de ellos hay 63 reordenamientos de columnas dentro de cada bloque.

Después de realizar estas operaciones, volvemos a marcar para devolver B1 a su forma estándar.

similar, podemos anular las tres líneas superiores del grupo y volver a marcar para devolver B1 a una forma estándar. Estas operaciones ahorran el número de terminaciones de cuadrícula de primera fila.

Felgenhauer y Jarvis utilizaron un programa informático para determinar que estas operaciones reducen el número de portadas a considerar de 36288 a solo 416.

Consideremos este primer grupo.

Realice varias operaciones en él que guarden su número de terminaciones de cuadrícula.. Puedes empezar con lo siguiente: Intercambiar la primera y la segunda fila.. Vuelva a marcarlo para que B1 esté en su forma estándar. Reducir lexicográficamente esta cuadrícula.

Lo principal es que el grupo con el que empezaste y el otro grupo con el que acabaste tengan el mismo número de finalizaciones hasta la cuadrícula completa de Sudoku..

Así, en lugar de calcular el número de extremos de la cuadrícula para cada uno de estos grupos, solo podemos calcularlo para uno de ellos.

Hay más pasos que reducen el número de cuadrículas a considerar. Si tenemos un par de dígitos {una,si} en una columna con a en una i-ésima fila y b en una j-ésima fila, y el mismo par en otra columna con b en una i-ésima fila y a en una j-ésima fila, cada par tendrá una banda con el mismo número de terminaciones de cuadrícula que el original.

Esto se debe a que cada par se encuentra en la misma columna., y cuando ambos se cambian al mismo tiempo, se guarda una sola regla, que también satisface las filas involucradas.

Como ejemplo, mira los números 8 y 9 en las columnas sexta y novena del ejemplo anterior. Considere todos los casos posibles de esta izquierda Felgenhauer y Jarvis con 174 de la primera 416 grupos para continuar.

También han considerado otras configuraciones del mismo conjunto de números que se encuentran en dos columnas o filas diferentes., que se pueden omitir dentro de sus columnas o filas, dejando invariable el número de terminaciones de cuadrícula.

Esto redujo el número de portadas a 71, y la búsqueda de cada uno de estos 71 casos les dejó claro que en realidad sólo hay 44 portadas cuyo número de cuadrículas completadas se encuentra.

Cada uno de estos 44 las bandas tienen el mismo número de finales que la grilla completa.

Sea C una de estas 44 rayas. Luego puede calcular la cantidad de formas en que C puede completar la cuadrícula completa de Sudoku: llámalo nc.

También necesitamos el número de portadas mC que comparten este número de finales nC de la cuadrícula. Entonces, el número total de cuadrículas de Sudoku es solo N = ΣCmCnC, o la suma de mCnC para todos 44 rayas.

Felgenhauer y Jarvis escribieron un programa de computadora para hacer los cálculos finales.

Calcularon el número de finalizaciones válidas de N1 con B1 en un formulario estándar, empezando con 44 carriles. Luego multiplicaron este número por 9! para obtener una respuesta.

Descubrieron que el número de posibles 9 por 9 Las cuadrículas de Sudoku son N = 6670903752021072936960, que es aproximadamente 6.671 × 1021.

Artículo y crédito de imagen:

http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2009/Mahmood/Count.html