résolu! Caltech chercheur aide depuis des décennies Old Crack mathématique problème

Spiros Michalakis, gestionnaire de l'information et du personnel chercheur à l'Institut Caltech pour l'information quantique et de la matière (IQIM), et Matthew Hastings, chercheur à Microsoft, ont résolu l'un des problèmes ouverts les plus difficiles du monde dans le domaine de la physique mathématique. Le problème, en lien avec “effet Hall quantique,” a d'abord été proposé 1999 comme l'un des 13 d'importants problèmes non résolus à figurer sur une liste maintenue par Michael Aizenman, professeur de physique et de mathématiques à l'Université de Princeton et l'ancien président de la Association internationale de la physique mathématique.

Comme le “millénaire” défis mathématiques mis en avant par l'Institut de mathématiques Clay en 2000, l'idée derrière ces problèmes était d'enregistrer certaines des énigmes non résolues les plus déroutantes de la physique mathématique - un domaine qui utilise un raisonnement mathématique rigoureux pour répondre aux questions de physique. Jusque là, le problème entrepris par Michalakis est le seul entièrement résolu, tandis que l'autre a été partiellement résolu. Les progrès réalisés sur le problème partiellement résolu a donné lieu à deux médailles Fields, la plus haute distinction en mathématiques.

“Je souhaite que la solution à ce problème fortifiera intérêt dans le domaine de la physique mathématique,” dit Michalakis. “En physique mathématique, nous recherchons un ensemble d'hypothèses minimales dans lesquelles nous pouvons montrer comment les phénomènes importants en physique se pose. Et, comme cela est souvent le cas avec des preuves de problèmes importants en mathématiques, la solution conduit à de nouvelles idées et techniques qui ouvrent les portes pour résoudre plusieurs autres questions importantes.”

Comportement électronique Bizarre

L'effet Hall quantique original a été découvert dans une expérience révolutionnaire par Edwin Hall à 1879 qui a montré, pour la première fois, que les courants électriques dans un métal peuvent être déviés en présence d'un champ magnétique perpendiculaire à la surface. Plus tard, dans 1980, physicien expérimental allemand Klaus von Klitzing réalise l'expérience de la conductance originale de Hall à une température nettement plus faible et avec un champ magnétique plus fort, seulement pour découvrir que le courant électrique a été dévié de manière quantifiée. En d'autres termes, que la force du champ magnétique augmente, l'augmentation de la conductivité électrique du métal n'a pas été graduelle ou linéaire, comme la physique classique prédit, mais progressé vers le haut d'une manière étape par étape,. Pour cette découverte, von Klitzing a reçu le prix Nobel de physique en 1985.

“Ceci est un beau problème,” dit Hastings. “Il a commencé par des expériences de Hall au 19ème siècle et par von Klitzing à peu près 100 ans après Hall. La chose remarquable à propos de l'effet Hall quantique est la quantification précise même lorsqu'il y a des impuretés naturelles dans le matériau.” Hastings dit que les impuretés peuvent affecter le chemin par lequel le courant circule à travers les matériaux. “Ces impuretés sont distribuées de façon aléatoire dans le matériau afin que vous pourriez penser qu'ils auraient un effet aléatoire sur la conductance, mais ils ne le font pas.”

Deux ans après la découverte de von Klitzing, expérimentateurs Horst Störmer et Daniel Tsui a montré quelque chose d'encore plus déconcertante: dans des conditions extrêmes (températures encore plus basses et les champs magnétiques plus forts), la conductance Hall a été quantifiée en multiples fractions de ce qui avait été précédemment observé. Il est comme si eux-mêmes des électrons en quelque sorte étaient divisé en particules plus petites, portant chacun une fraction de la charge de l'électron. Störmer et Tsui, ainsi que le physicien théoricien Robert Laughlin, a partagé le prix Nobel de physique en 1998 pour leur travail sur ce problème.

Les deux entiers et des effets quantiques de Hall fractionnel indiquent que les électrons dans ces systèmes agissent en quelque sorte dans un ensemble unifié, manière globale, malgré leurs tendances normales à se comporter comme des balles individuelles de ping-pong qui rebondissent les uns des autres. Même avec tous les progrès dans le domaine, la question de Comment les électrons ne sont attardés cette.

Une approche mathématique

Michalakis a commencé à travailler sur le problème de retour dans 2008 au Laboratoire national de Los Alamos, où il était chercheur post-doctoral en mathématiques. Il a construit ses recherches sur le travail d'avant-garde par Hastings, son conseiller au moment, qui a mis au point de nouveaux outils mathématiques pour scrutant l'effet Hall quantique, basé sur des décennies de recherche par d'autres. Michalakis dit que la lecture à travers toute la littérature précédente a prouvé presque aussi difficile que résoudre le problème lui-même.

“Il y avait une montagne de recherche qui existait déjà,” il dit. “Et la plupart d'entre elle avait besoin des connaissances avancées de la physique. Issu d'un milieu de mathématiques, Je devais briser le problème en petits morceaux, chacun dont je pouvais résoudre. Fondamentalement, J'ai décidé de creuser sous cette montagne de connaissances pour obtenir de l'autre côté.”

Une clé de la solution ultime est la topologie, ce qui est une façon de décrire des objets mathématiquement par leurs formes.

“La topologie est l'étude des propriétés des formes qui ne changent pas lorsque la forme est pliée ou étirée,” dit Hastings. “Par exemple, un beignet peut être étiré dans la forme d'une tasse de café, mais il ne peut pas être transformé en une sphère sans se déchirer. Quelque chose comme ça est derrière l'effet Hall: la conductance ne change pas même si il y a des impuretés dans le matériau.”

L'idée que la topologie était derrière l'effet Hall quantique a été invoqué avant Michalakis et Hastings est impliqué, mais les chercheurs ont été contraints de faire l'une des deux hypothèses, soit que la vision globale de l'espace mathématique décrivant le système était égal à la vue locale, ou que les électrons dans le système n'interagissent les uns avec les autres. La première hypothèse mathématique a été soupçonné d'être incorrect, tandis que la seconde hypothèse physique n'a pas été réaliste.

“Dans un état topologique de la matière, les électrons perdent leur identité. Vous obtenez une surface plus étendue, stable, système enchevêtré qui agit comme un seul objet,” dit Michalakis. “Les chercheurs avant nous ont réalisé que ce qui expliquerait les propriétés globales de la conductance Hall quantique. Mais ils ont fait l'hypothèse que la vue zoomée était la même que la vue zoomée-out.”

Déterminer comment supprimer ces deux hypothèses est en fin de compte ce que déconcerté la communauté de la physique mathématique, les incitant à désigner l'effet Hall quantique un problème ouvert important au tournant du siècle.

Michalakis et Hastings ont réussi à éliminer les hypothèses en connectant l'image globale de l'image locale d'une manière nouvelle. Pour illustrer leur approche, imaginez le zoom de la Terre. En voyant une sphère sans montagnes et les vallées, vous pourriez penser que vous pourriez voyager autour de la planète sans obstacles. Mais quand vous revenez sur Terre, vous vous rendez compte que ce n'est pas possible, vous ne devez traverser les montagnes et les vallées. Qu'est-ce que Michalakis et Hastings’ solution ne, dans un sens mathématique, est d'identifier une ouverture, chemin plat qui ne rencontre pas de creux ou de pics, en substance correspondant à l'illusion de ce que vous aviez perçu globalement en haut.

“J'ai utilisé les outils de Matt et idées connexes d'autres recherches pour montrer qu'un tel chemin existe toujours et que l'on pouvait facilement trouver, si l'on savait comment le chercher,” dit Michalakis. “La conductance Salle, il s'avère, est égal au nombre de fois que zigzague les caractéristiques topologiques de la forme mathématique décrivant le système Hall quantique. Cela explique pourquoi la conductance Hall est un entier, et pourquoi il est si robuste contre les impuretés dans le matériau physique. Impuretés sont comme de petits détours que vous décidez de prendre de la « or’ chemin, que vous voyagez à travers le monde. Ils n'affecteront pas combien de fois vous décidez de faire le tour du monde.”

Digérant la preuve

la preuve réelle de Michalakis et Hastings est bien sûr plus complexe; la preuve initiale s'élevait à 40 pages de raisonnement mathématique, mais après un processus d'édition minutieux, a été réduit à 30 pages. Ils ont présenté leur solution dans 2009 mais il a fallu du temps pour les experts à digérer le résultat, et la preuve n'a pas été officiellement publié en Communications en Physique mathématique jusqu'à ce que 2015.

Deux ans et demi après sa publication, la communauté des physiciens mathématiques a reconnu officiellement la solution, marquant le problème sur le Liste de site web comme “résolu.”

“Ça a pris du temps, six ans en fait, pour le papier à se faire publier, et même plus à comprendre et à gagner l'influence et l'impact qu'il méritait,” a déclaré Joseph Avron, professeur de physique à l'Institut de technologie Technion-Israël, écrit dans le avril 2018 bulletin de l'Association internationale de physique mathématique.

dit Michalakis, “L'ensemble des hypothèses nécessaires pour prouver le résultat avéré être plus petit que les experts avaient prévu, ce qui implique que les effets quantiques macroscopiques, comme l'effet Hall quantique, devrait se produire dans plusieurs contextes différents. Cela ouvre de nouvelles portes et façons de penser l'informatique quantique et d'autres sciences quantiques.”

La source:

http://www.caltech.edu, par Whitney Clavin