हल किया! कैलटेक शोधकर्ता दशकों पुरानी गणितीय समस्या को हल करने में मदद करता है

स्पिरोस माइकलकिसो, कैल्टेक इंस्टीट्यूट फॉर क्वांटम इंफॉर्मेशन एंड मैटर में आउटरीच के प्रबंधक और स्टाफ शोधकर्ता (पूजा करना), और मैथ्यू हेस्टिंग्स, माइक्रोसॉफ्ट में एक शोधकर्ता, गणितीय भौतिकी के क्षेत्र में दुनिया की सबसे चुनौतीपूर्ण खुली समस्याओं में से एक को हल कर लिया है. समस्या, से संबंधित “क्वांटम हॉल प्रभाव,” में पहली बार प्रस्तावित किया गया था 1999 में से एक 13 माइकल एज़ेनमैन द्वारा रखी गई सूची में महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्याओं को शामिल किया जाएगा, प्रिंसटन विश्वविद्यालय में भौतिकी और गणित के प्रोफेसर और के पूर्व अध्यक्ष गणितीय भौतिकी का अंतर्राष्ट्रीय संघ.

की तरह “सहस्राब्दी” क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा गणित की चुनौतियाँ प्रस्तुत की गईं 2000, पीछे का विचार ये समस्याएं गणितीय भौतिकी में कुछ सबसे जटिल अनसुलझी पहेलियों को रिकॉर्ड करना था - एक ऐसा क्षेत्र जो भौतिकी के प्रश्नों को हल करने के लिए कठोर गणितीय तर्क का उपयोग करता है. शरीर स्टेम सेल को कैसे नियंत्रित करता है, मिचलाकिस द्वारा उठाई गई समस्या एकमात्र ऐसी समस्या है जिसे पूरी तरह से हल किया गया है, जबकि दूसरे का आंशिक समाधान हो चुका है. आंशिक रूप से हल की गई समस्या पर हुई प्रगति के परिणामस्वरूप दो फ़ील्ड पदक प्राप्त हुए हैं, गणित में सर्वोच्च सम्मान.

“मुझे आशा है कि इस समस्या के समाधान से गणितीय भौतिकी के क्षेत्र में रुचि बढ़ेगी,” माइकलाकिस कहते हैं. “गणितीय भौतिकी में, हम मान्यताओं के एक न्यूनतम सेट की तलाश करते हैं जिसके तहत हम दिखा सकें कि भौतिकी में कितनी महत्वपूर्ण घटनाएं उत्पन्न होती हैं. और, जैसा कि अक्सर गणित में महत्वपूर्ण समस्याओं के प्रमाण के मामले में होता है, समाधान नए विचारों और तकनीकों की ओर ले जाता है जो कई अन्य महत्वपूर्ण प्रश्नों के समाधान के द्वार खोलता है।”

विचित्र इलेक्ट्रॉन व्यवहार

मूल क्वांटम हॉल प्रभाव की खोज एडविन हॉल द्वारा एक अभूतपूर्व प्रयोग में की गई थी 1879 जो दिखा, पहली बार के लिए, किसी धातु में विद्युत धाराओं को सतह के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में विक्षेपित किया जा सकता है. बाद में, में 1980, जर्मन प्रायोगिक भौतिक विज्ञानी क्लॉस वॉन क्लिट्ज़िंग ने हॉल के मूल संचालन प्रयोग को काफी कम तापमान और एक मजबूत चुंबकीय क्षेत्र के साथ किया।, केवल यह पता लगाने के लिए कि विद्युत धारा एक परिमाणित तरीके से विक्षेपित हुई थी. दूसरे शब्दों में, जैसे-जैसे चुंबकीय क्षेत्र की ताकत बढ़ती गई, धातु के विद्युत चालकता में वृद्धि क्रमिक या रैखिक नहीं थी, जैसा कि शास्त्रीय भौतिकी ने भविष्यवाणी की थी, बल्कि चरण-दर-चरण तरीके से ऊपर की ओर बढ़ता गया. इस खोज के लिए, वॉन क्लिट्ज़िंग को भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था 1985.

“यह एक खूबसूरत समस्या है,” हेस्टिंग्स कहते हैं. “इसकी शुरुआत 19वीं सदी में हॉल और मोटे तौर पर वॉन क्लिट्ज़िंग के प्रयोगों से हुई 100 हॉल के वर्षों बाद. क्वांटम हॉल प्रभाव के बारे में उल्लेखनीय बात सामग्री में प्राकृतिक अशुद्धियाँ होने पर भी सटीक परिमाणीकरण है।” हेस्टिंग्स का कहना है कि अशुद्धियाँ उस पथ को प्रभावित कर सकती हैं जिससे सामग्री के माध्यम से धारा प्रवाहित होती है. “ये अशुद्धियाँ सामग्री में बेतरतीब ढंग से वितरित होती हैं इसलिए आप सोच सकते हैं कि उनका संचालन पर बेतरतीब प्रभाव पड़ेगा, लेकिन वे ऐसा नहीं करते.”

वॉन क्लिट्ज़िंग की खोज के दो साल बाद, प्रयोगवादी होर्स्ट स्टॉर्मर और डैनियल त्सुई ने और भी अधिक चौंकाने वाली बात दिखाई: विषम परिस्थितियों में (इससे भी कम तापमान और मजबूत चुंबकीय क्षेत्र), हॉल चालन को पहले जो देखा गया था उसके भिन्नात्मक गुणकों में परिमाणित किया गया था. यह ऐसा है मानो किसी तरह इलेक्ट्रॉन स्वयं छोटे कणों में विभाजित हो रहे हों, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के आवेश का एक अंश वहन करता है. स्टॉर्मर और त्सुई, सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी रॉबर्ट लॉफलिन के साथ, में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार साझा किया 1998 इस समस्या पर उनके काम के लिए.

पूर्णांक और भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव दोनों संकेत देते हैं कि इन प्रणालियों में इलेक्ट्रॉन किसी तरह एक साथ एकीकृत होकर कार्य कर रहे हैं, वैश्विक ढंग, व्यक्तिगत पिंग पोंग गेंदों की तरह व्यवहार करने की उनकी सामान्य प्रवृत्ति के बावजूद जो एक दूसरे से उछलती हैं. क्षेत्र में तमाम प्रगति के बावजूद भी, का प्रश्न कैसे इलेक्ट्रॉन ऐसा करते रहते हैं.

एक गणितीय दृष्टिकोण

माइकलाकिस ने वापस समस्या पर काम करना शुरू कर दिया 2008 लॉस अलामोस राष्ट्रीय प्रयोगशाला में, जहां वह गणित में पोस्टडॉक्टरल विद्वान थे. उन्होंने अपना शोध हेस्टिंग्स के अग्रणी कार्य पर आधारित किया, उस समय उनके सलाहकार, जिन्होंने क्वांटम हॉल प्रभाव की जांच के लिए नए गणितीय उपकरण विकसित किए थे, दूसरों के दशकों के शोध पर आधारित. माइकलाकिस का कहना है कि पिछले सभी साहित्य को पढ़ना समस्या को हल करने जितना ही चुनौतीपूर्ण साबित हुआ.

“अनुसंधान का एक पहाड़ पहले से ही मौजूद था,” वह कहते हैं. “और इसमें से अधिकांश के लिए भौतिकी के उन्नत ज्ञान की आवश्यकता थी. गणित पृष्ठभूमि से आ रहा हूँ, मुझे समस्या को छोटे-छोटे टुकड़ों में बांटना था, जिनमें से प्रत्येक को मैं हल कर सकता था. मूल रूप से, मैंने दूसरी तरफ जाने के लिए ज्ञान के उस पहाड़ के नीचे खुदाई करने का फैसला किया।”

अंतिम समाधान की कुंजी टोपोलॉजी है, जो वस्तुओं को उनके आकार के आधार पर गणितीय रूप से वर्णित करने का एक तरीका है.

“टोपोलॉजी आकृतियों के गुणों का अध्ययन है जो आकृति को मोड़ने या खींचने पर नहीं बदलते हैं,” हेस्टिंग्स कहते हैं. “उदाहरण के लिए, एक डोनट को कॉफ़ी कप के आकार में बढ़ाया जा सकता है, लेकिन इसे बिना तोड़े गोले में तब्दील नहीं किया जा सकता. हॉल इफ़ेक्ट के पीछे कुछ ऐसा ही है: सामग्री में अशुद्धियाँ होने पर भी चालन नहीं बदला जाता है।”

यह विचार कि क्वांटम हॉल प्रभाव के पीछे टोपोलॉजी थी, माइकलाकिस और हेस्टिंग्स के शामिल होने से पहले लागू किया गया था, लेकिन उन शोधकर्ताओं को दो धारणाओं में से एक बनाने के लिए मजबूर किया गया था - या तो सिस्टम का वर्णन करने वाले गणितीय स्थान का वैश्विक दृष्टिकोण स्थानीय दृष्टिकोण के बराबर था, या कि सिस्टम में इलेक्ट्रॉनों ने एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं की. पहली गणितीय धारणा के गलत होने का संदेह था, जबकि दूसरी भौतिक धारणा यथार्थवादी नहीं थी.

“पदार्थ की टोपोलॉजिकल अवस्था में, इलेक्ट्रॉन अपनी पहचान खो देते हैं. आपको अधिक प्रसार मिलता है, स्थिर, उलझी हुई प्रणाली जो एक वस्तु की तरह कार्य करती है,” माइकलाकिस कहते हैं. “हमसे पहले शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि यह क्वांटम हॉल चालन में वैश्विक गुणों की व्याख्या करेगा. लेकिन उन्होंने यह धारणा बना ली कि ज़ूम-इन दृश्य ज़ूम-आउट दृश्य के समान ही था।”

इन दोनों धारणाओं को कैसे दूर किया जाए, यह पता लगाना अंततः गणितीय भौतिकी समुदाय को परेशान कर गया, उन्हें क्वांटम हॉल प्रभाव को सदी के अंत में एक महत्वपूर्ण खुली समस्या नामित करने के लिए प्रेरित किया.

माइकलाकिस और हेस्टिंग्स ने वैश्विक तस्वीर को स्थानीय तस्वीर से एक नवीन तरीके से जोड़कर धारणाओं को दूर करने में सफलता हासिल की. उनके दृष्टिकोण को स्पष्ट करने के लिए, पृथ्वी से दूर ज़ूम करने की कल्पना करें. पहाड़ों और घाटियों से रहित एक क्षेत्र देखना, आप सोच सकते हैं कि आप बिना किसी बाधा के ग्रह के चारों ओर यात्रा कर सकते हैं. लेकिन जब आप पृथ्वी पर वापस आते हैं, आपको एहसास होता है कि यह संभव नहीं है—आपको पहाड़ों और घाटियों को पार करना होगा. क्या माइकलाकिस और हेस्टिंग्स’ समाधान करता है, गणितीय अर्थ में, एक खुले की पहचान करना है, समतल पथ जिसमें कोई ढलान या शिखर न हो, संक्षेप में ऊपर से विश्व स्तर पर आपने जो देखा था उसके भ्रम से मेल खाता है.

“मैंने यह दिखाने के लिए मैट के टूल और अन्य शोधों से संबंधित विचारों का उपयोग किया कि ऐसा मार्ग हमेशा मौजूद होता है और कोई भी इसे आसानी से ढूंढ सकता है, यदि कोई जानता हो कि इसे कैसे खोजना है,” माइकलाकिस कहते हैं. “हॉल संचालन, यह पता चला है, क्वांटम हॉल प्रणाली का वर्णन करने वाले गणितीय आकार की टोपोलॉजिकल विशेषताओं के आसपास उस पथ के घूमने की संख्या के बराबर है. यह बताता है कि हॉल चालन एक पूर्णांक क्यों है, और यह भौतिक सामग्री में अशुद्धियों के विरुद्ध इतना मजबूत क्यों है. अशुद्धियाँ छोटे-छोटे चक्करों की तरह हैं जिन्हें आप 'सुनहरे' से लेने का निर्णय लेते हैं’ पथ, जैसे आप दुनिया भर में यात्रा करते हैं. वे इस बात पर कोई प्रभाव नहीं डालेंगे कि आप कितनी बार दुनिया भर में जाने का निर्णय लेते हैं।”

सबूत पचाना

माइकलाकिस और हेस्टिंग्स का वास्तविक प्रमाण निश्चित रूप से अधिक जटिल है; प्रारंभिक प्रमाण की राशि 40 गणितीय तर्क के पन्ने, लेकिन एक श्रमसाध्य संपादन प्रक्रिया के बाद, को छोटा कर दिया गया था 30 पृष्ठों. उन्होंने अपना समाधान प्रस्तुत किया 2009 लेकिन विशेषज्ञों को परिणाम पचाने में समय लगा, और प्रमाण आधिकारिक तौर पर प्रकाशित नहीं किया गया था गणितीय भौतिकी में संचार जब तक 2015.

इसके प्रकाशित होने के ढाई साल बाद, गणितीय भौतिकविदों के समुदाय ने आधिकारिक तौर पर समाधान को स्वीकार किया, पर समस्या अंकित करना वेबसाइट सूची जैसा “हल किया।”

“इसमें बहुत समय लगता है, वास्तव में छह साल, पेपर प्रकाशित होने के लिए, और इससे भी अधिक समय तक समझने और उस प्रभाव और प्रभाव को प्राप्त करने के लिए जिसके वह हकदार थे,” जोसेफ एवरॉन ने कहा, टेक्नियन-इज़राइल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में भौतिकी के प्रोफेसर, में लिख रहा हूँ अप्रैल 2018 न्यूजलैटर गणितीय भौतिकी के अंतर्राष्ट्रीय संघ के.

माइकलाकिस कहते हैं, “परिणाम को साबित करने के लिए आवश्यक मान्यताओं का सेट विशेषज्ञों की अपेक्षा से छोटा निकला, इसका तात्पर्य यह है कि स्थूल क्वांटम प्रभाव, क्वांटम हॉल प्रभाव की तरह, कई अलग-अलग सेटिंग्स में उत्पन्न होना चाहिए. यह क्वांटम कंप्यूटिंग और अन्य क्वांटम विज्ञान के बारे में सोचने के नए दरवाजे और तरीके खोलता है।”

स्रोत:

एचटीटीपी://www.caltech.edu, व्हिटनी क्लैविन द्वारा