Registreer nu

Log in

vergeten wachtwoord

Wachtwoord vergeten? Vul alstublieft uw e-mail adres in. U ontvangt een link ontvangen en zal een nieuw wachtwoord via e-mail te creëren.

bericht toevoegen

Je moet inloggen om bericht toe te voegen .

question

U moet inloggen om een ​​vraag te stellen.

Log in

Registreer nu

Welkom bij Scholarsark.com! Uw inschrijving krijgt u toegang te verlenen tot het gebruik van meer kenmerken van dit platform. U kunt vragen stellen, maken bijdragen of antwoorden bieden, bekijk profielen van andere gebruikers en nog veel meer. Registreer nu!

opgelost! Caltech Onderzoeker Helpt Crack decennia oude Mathematical Problem

Spiros Michalakis, manager van outreach en het personeel onderzoeker bij Caltech het Instituut voor Quantum Information en Matter (IQIM), en Matthew Hastings, onderzoeker bij Microsoft, hebben een van 's werelds meest uitdagende open problemen opgelost op het gebied van de mathematische fysica. Het probleem, familie van de “quantum Hall-effect,” werd eerst voorgesteld in 1999 als een van 13 belangrijke onopgeloste problemen die moeten worden opgenomen in een lijst bijgehouden door Michael Aizenman, een professor in de fysica en wiskunde aan de Princeton University en de voormalige president van de International Association of Mathematical Physics.

Spiros Michalakis

Spiros Michalakis Credit: Caltech

Zoals de “millennium” math uitdagingen naar voren gebracht door het Clay Mathematics Institute in 2000, Het idee achter deze problemen was om enkele van de meest verbijsterende onopgeloste puzzels in de wiskundige natuurkunde vast te leggen - een veld dat rigoureuze wiskundige redeneringen gebruikt om natuurkundige vragen te beantwoorden. Tot dusver, het probleem dat door Michalakis is het enige volledig opgelost, terwijl een andere gedeeltelijk opgelost. Voortgang van de gedeeltelijk opgelost probleem heeft geleid tot twee velden medailles, de hoogste eer in de wiskunde.

“Ik hoop dat de oplossing voor dit probleem belang op het gebied van de mathematische fysica zal versterken,” zegt Michalakis. “In mathematische fysica, we op zoek naar een minimale set van aannames op grond waarvan we kunnen zien hoe belangrijk fenomeen in de natuurkunde ontstaan. En, zoals vaak het geval is met bewijzen van de grote problemen in de wiskunde, de oplossing leidt tot nieuwe ideeën en technieken die de deuren open voor het oplossen van een aantal andere belangrijke vragen.”

Bizarre Electron Gedrag

De originele quantum Hall-effect werd ontdekt in een baanbrekend experiment door Edwin Hall in 1879 dat aantoonde, Voor de eerste keer, die elektrische stromen in een metalen kan worden afgebogen in aanwezigheid van een magnetisch veld loodrecht op het oppervlak. Later, in 1980, Duitse experimenteel fysicus Klaus von Klitzing uitgevoerd Hall's originele geleiding experiment bij een aanzienlijk lagere temperatuur en met een sterker magnetisch veld, alleen om te ontdekken dat de elektrische stroom werd afgebogen in een gekwantificeerde manier. Met andere woorden, de sterkte van het magnetische veld vergroot, de stijging van de elektrische geleidbaarheid van het metaal niet geleidelijk of lineair, de klassieke fysica voorspeld, maar vorderde omhoog in een stap voor stap manier. Voor deze ontdekking, von Klitzing werd bekroond met de Nobelprijs voor de Natuurkunde in 1985.

“Dit is een mooie probleem,” zegt Hastings. “Het begon met experimenten van Hall in de 19e eeuw en door von Klitzing ruwweg 100 jaar na Hall. Het opmerkelijke aan het quantum Hall-effect is de precieze kwantisering, zelfs als er natuurlijke onzuiverheden in het materiaal zitten.” Hastings zegt dat de onzuiverheden het pad kunnen beïnvloeden waardoor stroom door materialen stroomt. “Deze verontreinigingen worden willekeurig verdeeld in het materiaal dus je zou denken dat ze zouden een willekeurige effect op de geleidbaarheid hebben, maar ze doen het niet.”

Twee jaar na de ontdekking von Klitzing's, experimentalists Horst Störmer en Daniel Tsui toonde iets dat nog lastiger: onder extreme omstandigheden (nog lagere temperaturen en sterkere magneetvelden), de Hall geleiding werd gekwantificeerd in fractionele veelvouden van wat eerder was waargenomen. Het is alsof zich een of andere manier elektronen werden opgesplitst in kleinere deeltjes, elk een fractie van lading van een elektron. Störmer en Tsui, samen met theoretisch fysicus Robert Laughlin, deelde de Nobelprijs voor de Natuurkunde in 1998 voor hun werk aan dit probleem.

Zowel de integer en fractionele quantum Hall effect geven aan dat de elektronen in deze systemen een of andere manier samen te handelen in een unified, globale wijze, ondanks hun normale neiging zich te gedragen als individuele ping pong ballen die stuiteren elkaar. Zelfs met alle vooruitgang op het gebied, de vraag hoe de elektronen deze blijven hangen.

Een wiskundige benadering

Michalakis begon te werken aan het probleem terug in de 2008 in Los Alamos National Laboratory, waar hij was een postdoctorale geleerde in de wiskunde. Hij bouwde zijn onderzoek naar pionierswerk door Hastings, zijn adviseur op het moment, die nieuwe wiskundige technieken had ontwikkeld voor het onderzoek van de quantum Hall-effect, gebaseerd op tientallen jaren van onderzoek door anderen. Michalakis zegt dat het lezen van alle eerdere literatuur bleek bijna net zo uitdagend als het oplossen van het probleem zelf.

“Er was een berg van onderzoek dat al bestond,” hij zegt. “En de meeste daarvan vereist geavanceerde kennis van de fysica. Komend uit een wiskundige achtergrond, Ik had om het probleem in kleine stukjes breken, elk waarvan ik kon oplossen. Eigenlijk, Ik besloot te graven onder die berg van kennis naar de andere kant te komen.”

Een sleutel tot de uiteindelijke oplossing topologie, wat een manier wiskundig beschrijven voorwerpen door hun vorm.

“Topologie is de studie van de eigenschappen van vormen die niet veranderen wanneer de vorm is gebogen of uitgerekt,” zegt Hastings. “Bijvoorbeeld, een doughnut kan worden uitgerekt in de vorm van een koffiekop, maar het kan niet in een bol worden veranderd zonder te scheuren. Zoiets zit achter het Hall-effect: de geleidbaarheid is niet gewijzigd, zelfs al zijn er onzuiverheden in het materiaal.”

Het idee dat topologie was achter het quantum Hall-effect werd eerder Michalakis ingeroepen en Hastings werd betrokken, maar die onderzoekers hadden gedwongen om een ​​van de twee veronderstellingen-ofwel dat het globaal overzicht van de wiskundige ruimte beschrijven van het systeem was gelijk aan de lokale view, of dat de elektronen in het systeem niet met elkaar. De eerste wiskundige veronderstelling werd verdacht onjuist te zijn, terwijl de tweede fysieke aanname was niet realistisch.

“In een topologische toestand van de materie, elektronen verliezen hun identiteit. Je krijgt een meer verspreid, stal, verknoopte systeem dat werkt als een enkel object,” zegt Michalakis. “Onderzoekers voor ons realiseerden dat dit de globale eigenschappen van de quantum Hall geleiding zou verklaren. Maar ze maakte een aanname dat de ingezoomde uitzicht was hetzelfde als het ingezoomde-out uitzicht.”

Uitzoeken hoe deze beide aannames te verwijderen, is uiteindelijk wat stumped de mathematische fysica gemeenschap, aansporen ze naar de quantum Hall-effect wijst een significant geopend probleem aan het begin van de eeuw.

Michalakis en Hastings slaagde het verwijderen van de uitgangspunten op door de globale beeld om de lokale afbeelding op een nieuwe wijze. Om hun aanpak te illustreren, stel weg inzoomen van de aarde. Het zien van een bol zonder bergen en valleien, je zou denken dat je kon rond de planeet te reizen met geen obstakels. Maar als je terug naar de aarde, je je realiseert dat het niet mogelijk is-u hoeft niet te bergen en valleien doorkruisen. Wat Michalakis en Hastings’ oplossing doet, in een wiskundige zin, is een open te identificeren, vlakke pad dat pieken of dalen niet tegenkomen, in wezen overeenkomen met de illusie van wat je de hele wereld van boven had waargenomen.

“Ik gebruikte Matt's hulpmiddelen en bijbehorende ideeën uit ander onderzoek aan te tonen dat een dergelijk pad altijd bestaat en dat men kon vinden het gemakkelijk, als men wist hoe om het te zoeken,” zegt Michalakis. “The Hall geleiding, het blijkt, is gelijk aan het aantal keren dat pad slingert rond de topologische kenmerken van de wiskundige vorm waarin de quantum Hall systeem. Dat verklaart waarom de Hall geleiding is een integer, en waarom het zo robuust tegen onzuiverheden in de fysieke materiaal. Verontreinigingen zijn als kleine omwegen u besluit van de ‘gouden over te nemen’ pad, als u op reis rond de wereld. Ze heeft geen invloed op hoe vaak u besluit te gaan over de hele wereld.”

Het verteren van de Proof

Michalakis en Hastings's feitelijk bewijs is natuurlijk ingewikkelder; het aanvankelijke bewijs bedroeg 40 pagina's met wiskundig redeneren, maar na een zorgvuldige bewerkingsproces, was whittled neer aan 30 pagina's. Ze hebben hun oplossing in 2009 maar het duurde tijd voor de experts om het resultaat te verteren, en het bewijs is niet officieel gepubliceerd in Communications in Mathematical Physics tot 2015.

Twee en een half jaar nadat het werd gepubliceerd, de gemeenschap van wiskundige natuurkundigen de oplossing officieel erkend, markering van het probleem op de website lijst net zo “opgelost.”

“Het duurde lang, zes jaar in feite, voor het papier te krijgen gepubliceerd, en zelfs meer duidelijk zijn en krijgen de invloed en het effect dat het verdiende,” zei Joseph Avron, hoogleraar natuurkunde aan Technion-Israel Institute of Technology, schrijven in de april 2018 nieuwsbrief van de International Association of Mathematical Physics.

zegt Michalakis, “De set van aannames die nodig zijn om het resultaat te bewijzen bleek kleiner dan deskundigen hadden verwacht, wat inhoudt dat macroscopische quantum-effecten, zoals de quantum Hall-effect, optreedt in een aantal verschillende instellingen. Dit opent nieuwe deuren en manieren van denken over quantum computing en andere quantum wetenschappen.”


Bron:

http://www.caltech.edu, door Whitney Clavin

Wat betreft Marie

Laat een antwoord achter