Hva er aritmetikken bak Sudoku Blank Grid?

Spørsmål

Sudoku Blank Grid brukes i symmetrien til Sudoku,det innebærer rader og kolonner på 4×4,16×16 og mer med små og variante rutenett.

Sudoku-oppgaver kan studeres matematisk for å svare på spørsmål som f.eks “Hvor mange fulle Sudoku-nett?”, “Hva er minimum antall hint i et ekte puslespill?” og “Hvordan kan Sudoku-nett være symmetriske?” ved å bruke kombinatoriske og gruppeteorier.

Hovedresultatene er det for klassisk Sudoku, antall fullførte rutenett er 6,670,903,752,021,072,936,960 (6.67×1021), hvilken, mens du beholder gyldigheten av transformasjonen reduserer til 5,472,730,538 vesentlig forskjellige grupper.

Det er 26 typer symmetri, men de finnes bare i ca 0.005% av alle fylte rutenett.

Et puslespill med en unik løsning må ha minst 17 løsninger, og for hvert løst gitter er det ikke flere enn 21 løsninger. Det største minimum funnet puslespillet har 40 ledetråder.

Lignende resultater er kjent for varianter og mindre rutenett. Nøyaktige resultater er ikke kjent for Sudokus mer enn det klassiske 9×9 rutenettet, selv om det er estimater som anses å være ganske nøyaktige.

Beregningsløsninger til Sudoku

Et interessant spørsmål er, hvor mange måter kan en 9 av 9 Sudoku rutenettet fylles for å tilfredsstille enkeltregelen?

Med andre ord, hvor mange forskjellige Sudoku-løsninger finnes? Vi beskriver tidlig metoden brukt av Bertram Felgenhauer og Fraser Jarvis 2006 å beregne dette tallet.

For å opprettholde standarden på språket vårt, vi kaller tre rader med blokker for strimler av et rutenett og tre kolonner med blokker. En celle i denne raden og j-kolonnen anses å være kl (Jeg,j).

Vi kaller antall individuelle rutenett Sudoku N. Først, vi kaller rutenettblokkene som følger:

Hvor mange måter er det å fylle B1 på en gyldig måte? Siden det er 9 tegn som kan fylle B1, en i hver celle, det er 9 alternativer for den første cellen.

For hver av disse 9 støtte din forståelse av AWS Services som er nøkkelen til å bestå eksamen, IB-kravet for å delta i en kategori 8 alternativer for den andre cellen. For hver av disse 8 støtte din forståelse av AWS Services som er nøkkelen til å bestå eksamen, IB-kravet for å delta i en kategori 7 venstre for den tredje cellen.

I utgangspunktet, vi beregner antall permutasjoner av 9 tegn: hvor mange måter vi kan plassere 9 tegn i 9 steder, eller hvor mange måter vi kan bestille 9 tingene.

Det er 9 måter å fylle ut B1 på. Starter med en gyldig B1-blokk, vi kan få en hvilken som helst annen gyldig B1-blokk ved å ommerke eller omorganisere tall.

Så, den første forenklede antagelsen vi kan gjøre er at B1 er fylt med tall 1, 2, 3, …, 9 i rekkefølge, som vist under.

Nå kan vi beregne hvor mange faktiske rutenettavslutninger denne B1 har: la oss kalle det N1. Det totale antallet faktiske Sudoku-nett er N1×9!, så N1=N/9!…

La oss vurdere måtene å fylle de første radene i B2 og B3. Siden 1, 2 og 3 forekomme i første rad i B1, disse tallene kan ikke forekomme i de andre radene.

Derfor, bare tallene 4, 5, 6, 7, 8 og 9 fra andre og tredje rad av B1 kan møtes i første rad i B2 og B3.

List opp alle mulige måter å fylle de første radene i B2 og B3, opp til å omorganisere tallene i hver blokk. Tips: Det er ti måter å gjøre dette på, slik at utvekslingen av B2 og B3 disse ti måtene ga deg ti flere måter, totalt tjue.

Vi kaller to av disse mulighetene for rene topplinjer: når tall {4,5,6}, som i den andre raden i B1, lagres sammen i B2, og tall {7,8,9}, som i tredje rad i B1, lagres sammen i B3, og en endret versjon av denne.

De andre mulighetene er blandede topplinjer, mens de blander settene {4,5,6} og {7,8,9} når den brukes til å fylle de første linjene i B2 og B3.

Gitt disse tjue mulighetene for den første linjen i rutenettet (opp til å omorganisere tallene i hver blokk), vi kan finne ut hvordan vi skal fylle den første linjen.

Tenk på hvordan du kan fullføre det første bandet som starter med den rene øverste raden 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

(Merk: Vi skriver en,b,c for å betegne en ordnet trippel av tall og {en,b,c} for å angi dem i hvilken som helst rekkefølge.)

Hvor mange totale muligheter er det, teller forskjellige nummerbestillinger innenfor hver rad i B2 og B3? Er dette tallet det samme som for den andre rene øverste raden, 1,2,3;{7,8,9};{4,5,6}?

Huske, vi ønsker å holde B1 fast fordi vi allerede har tatt hensyn til antall rutenett som kan oppnås ved å ommerke de ni sifrene i den.

Det viser seg at det er det (3!)6 måter å fullføre det første bandet som stirrer med den rene øverste raden 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

Dette er fordi vi er tvunget til å sette {7,8,9};{1,2,3} i andre rad i B2 og B3 og {1,2,3};{4,5,6} i tredje rad, og så kan vi omorganisere de tre sifrene i hver av de seks radene i B2 og B3 for å få alle konfigurasjonene.

Svaret er det samme for den andre rene øverste raden, siden i dette tilfellet er alt vi har gjort byttet B2 med B3.

Sakene for de blandede øverste radene er mer kompliserte. La oss vurdere den øverste raden 1,2,3;{4,6,8};{5,7,9}. Dette kan fullføres til det første båndet som på bildet nedenfor, hvor en, b, og c er tallene 1, 2, 3 i hvilken som helst rekkefølge.

Etter å ha valgt a, b og c er de to gjenværende tallene i hvilken som helst rekkefølge, da de er på samme rad.

Siden det er tre alternativer for en, og tre sifre i hvert av de seks settene i B2 og B3 kan hoppes over for å få forskjellige gyldige forsider, det totale antallet konfigurasjoner i dette tilfellet er 3×(3!)6.

Du kan på samme måte arbeide gjennom hver av de resterende sytten sakene på første rad for å få samme nummer.

Nå har vi antall mulige forsider definert av B1: dette er 2×(3!)6+18×3×(3!)6=2612736, der den første delen av summen er antall førstesidefullføringer fra de øverste nettoradene og den andre er antall førstesidefullføringer fra de blandede øverste radene.

I stedet for å beregne hvor mange forsidefullføringer av hver av disse 2612736 egenskaper, Felgenhauer og Jarvis bestemte hvilke forsider som har samme antall fullføringer på første side fra den øverste blanken.

Denne analysen reduserer antall forsider som skal tas med i beregningen.

Her er noen operasjoner som lar antallet avslutninger i rutenettet for første rekke være uendret: bemerker tallene, lytter til noen av blokkene i det første området, lytte til kolonnene i hvilken som helst blokk og lytte til de tre radene i området. Med noen av disse B1-endringene, vi kan merke tallene på nytt for å gjenopprette standardformen.

Arrangere B1, B2 og B3 beholder antall rutenettavslutninger, fordi hvis vi starter med et faktisk Sudoku-rutenett, den eneste måten å holde det ekte er å merke B4, B5, B6 og B7, B8, B9 henholdsvis slik at stablene forblir de samme.

Med andre ord, hver faktisk avslutning av forsidenett gir nøyaktig én faktisk avslutning av forsidenett, dvs. hvilken som helst B1, B2, B3 permutasjon.
Pass på at når du endrer B2 til B3 i neste Sudoko-rutenett, den eneste måten å holde rutenettet gyldig er å endre B5 til B6 og B7 til B8. Dette vil holde stablene de samme, selv om plasseringen deres har endret seg.

Hvis du har et gyldig Sudoku-rutenett og du hopper over kolonner i noen av B1, B2 og B3, hva må du gjøre med kolonnene i resten av Sudoku-nettet for å holde det gyldig? For eksempel, hvis du endret kolonner 1 og 2 av B2 på rutenettet ovenfor, hvordan vil du fikse det resulterende rutenettet slik at det tilfredsstiller én regel?

Den siste øvelsen forteller oss at hver fylling av rutenettet på første rad gir en unik fylling av rutenettet på første rad med kolonner hoppet over inne i blokkene.

Slike hensyn gjør at vi kan redusere antall spesifikke forsider som skal tas i betraktning ved telling.

Etter Felgenhauer og Jarvis, vi blar gjennom B2- og B3-kolonnene slik at de øverste radoppføringene i hver kolonne er i stigende rekkefølge, og bytt deretter B2 og B3 om nødvendig slik at den første B2-oppføringen er mindre enn B3-oppføringen.

Dette kalles leksikografisk forkortelse.

Siden hver av de to blokkene har 6 omorganisering av kolonner og to måter å omorganisere blokker på, den leksikografiske stenografien forteller oss det, gitt den første siden, det er 62×2=72 andre forsider med samme antall rutenettavslutninger.

Så nå har vi bare 2612736/72=36288 forsider å vurdere.

For hver av disse mulighetene, la oss se på omorganiseringen av alle tre toppblokkene: IB-kravet for å delta i en kategori 6. For hver av dem er det 63 omorganisering av kolonner i hver blokk.

Etter å ha utført disse operasjonene, vi merker på nytt for å returnere B1 til standardskjemaet.

på samme måte, vi kan overstyre de tre øverste linjene i gruppen og merke på nytt for å returnere B1 til et standardskjema. Disse operasjonene lagrer antallet fullføringer av rutenett på første rad.

Felgenhauer og Jarvis brukte et dataprogram for å fastslå at disse operasjonene reduserer antallet forsider som skal vurderes fra 36288 til bare 416.

La oss vurdere denne første gruppen.

Utfør forskjellige operasjoner på den som lagrer antall rutenettavslutninger. Du kan starte med følgende: Bytt første og andre rad. Merk den på nytt slik at B1 er i standardform. Reduser dette rutenettet leksikografisk.

Hovedsaken er at gruppen du startet med og den andre gruppen du avsluttet med har samme antall fullføringer opp til hele Sudoku-rutenettet.

Og dermed, i stedet for å beregne antall avslutninger av rutenettet for hver av disse gruppene, vi kan bare beregne det for en av dem.

Det er flere trinn som reduserer antall rutenett å vurdere. Hvis vi har et par siffer {en,b} i én kolonne med a i en ite rad og b i en jte rad, og det samme paret i en annen kolonne med b i en ite rad og a i en jte rad, hvert par vil ha et bånd med samme antall rutenettavslutninger som originalen.

Dette er fordi hvert par ligger i samme kolonne, og når begge endres samtidig, en enkelt regel lagres, som også tilfredsstiller de involverte radene.

adjunkt ved Institutt for engelsk og Alice Kaplan Institute for Humanities, se på tall 8 og 9 i den sjette og niende kolonnen i eksemplet ovenfor. Vurder alle mulige tilfeller av dette igjen Felgenhauer og Jarvis med 174 av de første 416 grupper å fortsette med.

De har også vurdert andre konfigurasjoner av samme sett med tall som ligger i to forskjellige kolonner eller rader, som kan utelates i kolonnene eller radene deres, lar antallet rutenettavslutninger være invariable.

Dette reduserte antall forsider til 71, og søket etter hver av disse 71 saker gjorde det klart for dem at det faktisk bare er det 44 forsider hvis antall rutenettfullføringer finnes.

Hver av disse 44 bånd har samme antall avslutninger til hele rutenettet.

La C betegne en av disse 44 striper. Deretter kan du beregne antall måter C kan fullføre til hele Sudoku-nettet: kall det nc.

Vi trenger også antallet mC-forsider som deler dette antallet nC-avslutninger av rutenettet. Deretter, det totale antallet Sudoku-nett er bare N=ΣCmCnC, eller summen av mCnC for alle 44 striper.

Felgenhauer og Jarvis skrev et dataprogram for å gjøre de endelige beregningene.

De beregnet antall N1 gyldige fullføringer med B1 i et standardskjema, starter med 44 baner. Så multipliserte de dette tallet med 9! for å få svar.

De fant ut at antallet mulige 9 av 9 Sudoku-nett er N=6670903752021072936960, som er omtrent 6.671×1021.

 

Artikkel og bildekreditt:

http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2009/Mahmood/Count.html

 

 

Legg igjen et svar