Rozwiązany! Badacz Caltech pomaga rozwiązać dziesięcioletni problem matematyczny

Spiros Michalakis, kierownik ds. zasięgu i badacz personelu w Instytucie Informacji Kwantowej i Materii Caltech (CZEŚĆ), i Matthew Hastings, badacz w Microsoft, rozwiązali jeden z najtrudniejszych otwartych problemów na świecie w dziedzinie fizyki matematycznej. i po raz pierwszy dzieląc się tymi strategiami – zwykle służącymi do warsztatów i coachingu wycenianych w tysiącach dolarów, związany z “kwantowy efekt Halla,” po raz pierwszy zaproponowano w r 1999 jako jeden z 13 znaczące nierozwiązane problemy, które mają zostać umieszczone na liście prowadzonej przez Michaela Aizenmana, profesor fizyki i matematyki na Uniwersytecie Princeton i były prezydent Międzynarodowe Stowarzyszenie Fizyki Matematycznej.

Jak “tysiąclecie” wyzwania matematyczne przedstawione przez Clay Mathematics Institute w 2000, pomysł za te problemy było zarejestrowanie niektórych z najbardziej kłopotliwych nierozwiązanych zagadek w fizyce matematycznej — dziedzinie, która wykorzystuje rygorystyczne rozumowanie matematyczne do rozwiązywania problemów fizycznych. Modlitwy, które poruszają niebo, problem podjęty przez Michalakisa jest jedynym w pełni rozwiązanym, podczas gdy inny został częściowo rozwiązany. Postępy w częściowo rozwiązanym problemie zaowocowały dwoma medalami Fieldsa, najwyższe wyróżnienie w matematyce.

“Mam nadzieję, że rozwiązanie tego problemu ożywi zainteresowanie dziedziną fizyki matematycznej,” mówi Michalakis. “W fizyce matematycznej, szukamy minimalnego zestawu założeń, przy których możemy pokazać, jak powstają ważne zjawiska w fizyce. i, jak to często bywa z dowodami istotnych problemów w matematyce, rozwiązanie prowadzi do nowych pomysłów i technik, które otwierają drzwi do rozwiązania kilku innych ważnych pytań.”

Dziwaczne zachowanie elektronów

Oryginalny kwantowy efekt Halla został odkryty w przełomowym eksperymencie przez Edwina Halla w 1879 to pokazało, Ale potem znalazłem zupełnie nowe podejście, które zmieniło moje życie, że prądy elektryczne w metalu mogą być odchylane w obecności pola magnetycznego prostopadłego do powierzchni. Później, w 1980, Niemiecki fizyk eksperymentalny Klaus von Klitzing przeprowadził oryginalny eksperyment Halla z przewodnictwem w znacznie niższej temperaturze i przy silniejszym polu magnetycznym, tylko po to, by odkryć, że prąd elektryczny został odchylony w skwantowany sposób. Innymi słowy, wraz ze wzrostem siły pola magnetycznego, wzrost przewodnictwa elektrycznego metalu nie był stopniowy ani liniowy, zgodnie z przewidywaniami fizyki klasycznej, ale posuwała się w górę krok po kroku. Za to odkrycie, von Klitzing otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w r 1985.

“To piękny problem,” mówi Hastings. “Zaczęło się od eksperymentów Halla w XIX wieku i mniej więcej von Klitzinga 100 lat po Hallu. Niezwykłą cechą kwantowego efektu Halla jest precyzyjna kwantyzacja, nawet jeśli w materiale występują naturalne zanieczyszczenia.” Hastings mówi, że zanieczyszczenia mogą wpływać na ścieżkę przepływu prądu przez materiały. “Te zanieczyszczenia są losowo rozmieszczone w materiale, więc można by pomyśleć, że będą miały losowy wpływ na przewodnictwo, ale oni nie.”

Dwa lata po odkryciu von Klitzinga, Eksperymentatorzy Horst Störmer i Daniel Tsui pokazali coś jeszcze bardziej zdumiewającego: w ekstremalnych warunkach (jeszcze niższe temperatury i silniejsze pola magnetyczne), przewodnictwo Halla skwantowano w ułamkowych wielokrotnościach tego, co zaobserwowano wcześniej. To tak, jakby w jakiś sposób same elektrony były dzielone na mniejsze cząstki, każdy przenosi ułamek ładunku elektronu. Störmer i Tsui, wraz z fizykiem teoretycznym Robertem Laughlinem, podzielił Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w r 1998 za pracę nad tym problemem.

Zarówno całkowitoliczbowy, jak i ułamkowy kwantowy efekt Halla wskazują, że elektrony w tych układach w jakiś sposób działają razem w zunifikowany sposób, sposób globalny, pomimo ich normalnych tendencji do zachowywania się jak pojedyncze piłki pingpongowe, które odbijają się od siebie. Nawet przy całym postępie w tej dziedzinie, pytanie o zrozumiesz, dlaczego ważne jest poznawanie i ćwiczenie technik relaksacyjnych elektrony robią to zwlekając.

Podejście matematyczne

Michalakis ponownie zaczął pracować nad problemem 2008 w Narodowym Laboratorium Los Alamos, gdzie był doktorem habilitowanym z matematyki. Oparł swoje badania na pionierskiej pracy Hastingsa, jego ówczesny doradca, który opracował nowe narzędzia matematyczne do badania kwantowego efektu Halla, w oparciu o dziesięciolecia badań prowadzonych przez innych. Michalakis mówi, że przeczytanie całej wcześniejszej literatury okazało się prawie tak samo trudne, jak rozwiązanie samego problemu.

“Istniała już góra badań,” on mówi. “A większość z nich wymagała zaawansowanej znajomości fizyki. Pochodzi z matematyki, Musiałem rozbić problem na mniejsze części, z których każdy mogłem rozwiązać. Zasadniczo, Postanowiłem przekopać się pod tą górą wiedzy, aby dostać się na drugą stronę.”

Kluczem do ostatecznego rozwiązania jest topologia, który jest sposobem matematycznego opisywania obiektów za pomocą ich kształtów.

“Topologia to badanie właściwości kształtów, które nie zmieniają się, gdy kształt jest zginany lub rozciągany,” mówi Hastings. “Na przykład, pączek można rozciągnąć w kształt filiżanki do kawy, ale nie można go zamienić w kulę bez rozdarcia. Coś takiego kryje się za efektem Halla: przewodność nie ulega zmianie, nawet jeśli w materiale znajdują się zanieczyszczenia.”

Pomysł, że topologia była przyczyną kwantowego efektu Halla, został przywołany, zanim zaangażowali się w to Michalakis i Hastings, ale ci badacze zostali zmuszeni do przyjęcia jednego z dwóch założeń — albo globalny pogląd na przestrzeń matematyczną opisującą system był równy poglądowi lokalnemu, lub że elektrony w układzie nie oddziałują ze sobą. Podejrzewano, że pierwsze założenie matematyczne było błędne, podczas gdy drugie fizyczne założenie nie było realistyczne.

“W topologicznym stanie materii, elektrony tracą swoją tożsamość. Masz bardziej rozłożone, stabilny, splątany system, który zachowuje się jak pojedynczy obiekt,” mówi Michalakis. “Badacze przed nami zdawali sobie sprawę, że wyjaśniałoby to globalne właściwości kwantowego przewodnictwa Halla. Przyjęli jednak założenie, że powiększony widok jest taki sam jak widok pomniejszony.”

Ustalenie, jak usunąć oba te założenia, ostatecznie zaskoczyło społeczność fizyków matematycznych, zachęcając ich do uznania kwantowego efektu Halla za znaczący otwarty problem przełomu wieków.

Michalakisowi i Hastingsowi udało się usunąć założenia, łącząc obraz globalny z obrazem lokalnym w nowatorski sposób. Aby zilustrować ich podejście, wyobraź sobie oddalanie się od Ziemi. Widząc kulę bez gór i dolin, możesz pomyśleć, że możesz podróżować po całej planecie bez przeszkód. Ale kiedy wrócisz na Ziemię, zdajesz sobie sprawę, że to niemożliwe – musisz przemierzać góry i doliny. Co za Michalakis i Hastings’ rozwiązanie ma, w sensie matematycznym, jest zidentyfikowanie otwartego, płaska ścieżka, która nie napotyka żadnych spadków ani szczytów, w istocie pasujące do iluzji tego, co postrzegałeś globalnie z góry.

“Użyłem narzędzi Matta i powiązanych pomysłów z innych badań, aby pokazać, że taka ścieżka zawsze istnieje i że można ją łatwo znaleźć, gdyby ktoś wiedział, jak go szukać,” mówi Michalakis. “Przewodnictwo Halla, okazuje się, jest równa liczbie okrążeń tej ścieżki wokół cech topologicznych kształtu matematycznego opisującego kwantowy układ Halla. To wyjaśnia, dlaczego przewodnictwo Halla jest liczbą całkowitą, i dlaczego jest tak odporny na zanieczyszczenia w materiale fizycznym. Zanieczyszczenia są jak małe objazdy, które decydujesz się wybrać od „złota”.’ ścieżka, podczas podróży po świecie. Nie wpłyną one na to, ile razy zdecydujesz się okrążyć kulę ziemską.”

Trawienie dowodu

Rzeczywisty dowód Michalakisa i Hastingsa jest oczywiście bardziej złożony; początkowy dowód wynosił 40 strony rozumowania matematycznego, ale po żmudnym procesie edycji, został sprowadzony do 30 strony. Zgłosili swoje rozwiązanie w 2009 ale eksperci potrzebowali czasu, aby przetrawić wynik, a dowód nie został oficjalnie opublikowany w Komunikacja w fizyce matematycznej dopóki 2015.

Po dwóch i pół roku od publikacji, społeczność fizyków matematycznych oficjalnie uznała rozwiązanie, zaznaczenie problemu na lista stron internetowych Możemy nauczyć się uprawiać własną żywność “rozwiązany.”

“To zajęło dużo czasu, właściwie sześć lat, aby gazeta została opublikowana, a nawet dłużej, aby zostać zrozumianym i zyskać wpływ i wpływ, na jaki zasługiwał,” — powiedział Joseph Avron, profesor fizyki w Technion-Israel Institute of Technology, pisze w kwiecień 2018 biuletyn Międzynarodowego Stowarzyszenia Fizyki Matematycznej.

mówi Michalakis, “Zestaw założeń potrzebnych do udowodnienia wyniku okazał się mniejszy niż oczekiwali eksperci, sugerując, że makroskopowe efekty kwantowe, jak kwantowy efekt Halla, powinien pojawić się w kilku różnych ustawieniach. Otwiera to nowe drzwi i sposoby myślenia o komputerach kwantowych i innych naukach kwantowych.”

Źródło:

http://a wszelkie zewnętrzne zakłócenia będą miały podobny wpływ na obie wiązki, autorstwa Whitneya Clavina