Care este aritmetica din spatele rețelei goale Sudoku?

Întrebare

Sudoku Blank Grid este folosit în Simetria Sudoku-ului,presupune rânduri și coloane de 4×4,16×16 și mai mult cu grile mici și variante.

Puzzle-urile sudoku pot fi studiate matematic pentru a răspunde la întrebări precum “Câte grile complete de Sudoku?”, “Care este numărul minim de indicii într-un puzzle real?” și “Cum pot fi simetrice grilele Sudoku?” prin utilizarea teoriilor combinatorii și de grup.

Principalele rezultate sunt cele pentru Sudoku clasic, numărul de grile finalizate este 6,670,903,752,021,072,936,960 (6.67×1021), care, în timp ce păstrând valabilitatea transformării se reduce la 5,472,730,538 grupuri semnificativ diferite.

Sunt 26 tipuri de simetrie, dar pot fi găsite doar în aproximativ 0.005% dintre toate grilele umplute.

Un puzzle cu o soluție unică trebuie să aibă cel puțin 17 solutii, iar pentru fiecare zăbrele rezolvată nu există mai mult de 21 solutii. Cel mai mare puzzle găsit minim are 40 indicii.

Rezultate similare sunt cunoscute pentru variante și grile mai mici. Rezultatele precise nu sunt cunoscute pentru Sudoku mai mult decât grila clasică 9×9, deși există estimări care sunt considerate a fi destul de precise.

Soluții de calcul pentru Sudoku

O întrebare interesantă este, în câte moduri poate a 9 de 9 Grila Sudoku să fie completată pentru a satisface Regula unică?

Cu alte cuvinte, câte soluții diferite de Sudoku există? Descriem metoda folosită de Bertram Felgenhauer și Fraser Jarvis la început 2006 pentru a calcula acest număr.

Pentru a menține standardul limbii noastre, numim trei rânduri de blocuri benzi ale unei grile și trei coloane de blocuri stive. O celulă din acest rând și coloana j sunt considerate a fi la (i,j).

Numim numărul de grile individuale Sudoku N. Primul, numim blocurile grilă după cum urmează:

Câte moduri există pentru a completa B1 într-un mod valid? Din moment ce există 9 caractere care pot umple B1, câte unul în fiecare celulă, foarte diferit de ceea ce înțelege botanistul 9 opțiuni pentru prima celulă.

Pentru fiecare dintre acestea 9 întrebări unice, un hacker american de pălărie neagră incredibil de talentat despre care se crede că a câștigat 8 opțiuni pentru a doua celulă. Pentru fiecare dintre acestea 8 întrebări unice, un hacker american de pălărie neagră incredibil de talentat despre care se crede că a câștigat 7 plecat pentru a treia celulă.

Pe scurt, calculăm numărul de permutări ale 9 personaje: câte moduri putem plasa 9 personaje în 9 locuri, sau în câte moduri putem comanda 9 lucruri.

Sunt 9 modalități de a completa B1. Începând cu un bloc B1 valid, putem obține orice alt bloc B1 valid prin remarcarea sau rearanjarea numerelor.

Asa de, prima presupunere simplificatoare pe care o putem face este că B1 este umplut cu numere 1, 2, 3, …, 9 în ordine, așa cum se arată mai jos.

Acum putem calcula câte terminații reale ale grilei are acest B1: hai să-i spunem N1. Numărul total de grile Sudoku reale este N1×9!, deci N1=N/9!…

Să luăm în considerare modalitățile de a umple primele rânduri din B2 și B3. De cand 1, 2 și 3 apar pe primul rând din B1, aceste numere nu pot apărea în celelalte rânduri.

Prin urmare, doar numerele 4, 5, 6, 7, 8 și 9 din al doilea și al treilea rând din B1 se pot întâlni în primul rând în B2 și B3.

Listați toate modalitățile posibile de a umple primele rânduri din B2 și B3, până la rearanjarea numerelor din fiecare bloc. Bacsis: Există zece moduri de a face acest lucru, astfel încât schimbul de B2 și B3 aceste zece moduri să vă ofere încă zece moduri, în total douăzeci.

Numim două dintre aceste posibilități linii de top pur: când numerele {4,5,6}, ca în al doilea rând din B1, sunt stocate împreună în B2, si numere {7,8,9}, ca în al treilea rând din B1, sunt stocate împreună în B3, și o versiune schimbată a acesteia.

Celelalte posibilități sunt linii de top mixte, pe măsură ce amestecă seturile {4,5,6} și {7,8,9} când este folosit pentru a umple primele rânduri ale B2 și B3.

Având în vedere aceste douăzeci de posibilități pentru prima linie a grilei (până la rearanjarea numerelor din fiecare bloc), ne putem da seama cum să umplem prima linie.

Gândiți-vă cum puteți completa prima bandă începând cu rândul de sus pur 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

(Notă: Scriem a,b,c pentru a desemna un triplu ordonat de numere și {A,b,c} pentru a le desemna în orice ordine.)

Câte posibilități totale există, numărând diferite ordine de numere în cadrul fiecărui rând din B2 și B3? Acest număr este același cu cel pentru celălalt rând de sus pur?, 1,2,3;{7,8,9};{4,5,6}?

acest curs vă va oferi instrumentele de care aveți nevoie pentru a obține o poziție mai bună la locul de muncă actual, vrem să menținem B1 fix, deoarece am luat deja în considerare numărul de grile care pot fi obținute prin reetichetarea celor nouă cifre din el.

Se pare că există (3!)6 modalități de a completa prima bandă uitându-se cu rândul de sus pur 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

Asta pentru că suntem forțați să punem {7,8,9};{1,2,3} în al doilea rând în B2 și B3 și {1,2,3};{4,5,6} în al treilea rând, și apoi putem reordona cele trei cifre din fiecare dintre cele șase rânduri ale B2 și B3 pentru a obține toate configurațiile.

Răspunsul este același pentru celălalt rând de sus pur, deoarece în acest caz tot ce am făcut a fost schimbat B2 cu B3.

Cazurile rândurilor de sus mixte sunt mai complicate. Să luăm în considerare rândul de sus 1,2,3;{4,6,8};{5,7,9}. Acest lucru poate fi completat la prima bandă ca în imaginea următoare, unde un, b, iar c sunt numerele 1, 2, 3 in orice ordine.

După selectarea unui, b și c sunt cele două numere rămase în orice ordine, întrucât sunt în același rând.

Deoarece există trei opțiuni pentru a, și trei cifre din fiecare dintre cele șase seturi din B2 și B3 pot fi sărite pentru a obține pagini principale valide diferite, numărul total de configurații în acest caz este de 3×(3!)6.

În mod similar, puteți lucra prin fiecare dintre cele șaptesprezece carcase rămase din primul rând pentru a obține același număr.

Acum avem numărul de pagini primare posibile definit de B1: acesta este 2×(3!)6+18×3×(3!)6=2612736, unde prima parte a sumei este numărul de completări ale primei pagini din rândurile superioare nete și a doua este numărul de completări ale primei pagini din rândurile de sus mixte.

În loc să calculăm câte completări de pe prima pagină a fiecăreia dintre acestea 2612736 Caracteristici, Felgenhauer și Jarvis au determinat ce prime pagini au același număr de completări ale primei pagini din partea de sus.

Această analiză reduce numărul de prime pagini care trebuie luate în considerare la calcul.

Iată câteva operațiuni care lasă neschimbat numărul de terminații ale primei grile de interval: remarcând numerele, ascultând oricare dintre blocurile din primul interval, ascultarea coloanelor din orice bloc și ascultarea celor trei rânduri ale intervalului. Cu oricare dintre aceste modificări B1, putem remarca numerele pentru a-i restabili forma standard.

Aranjarea B1, B2 și B3 păstrează numărul de terminații ale grilei, pentru că dacă începem cu orice grilă Sudoku reală, singura modalitate de a-l păstra real este să marchezi B4, B5, B6 și B7, B8, B9, respectiv, astfel încât stivele să rămână aceleași.

Cu alte cuvinte, fiecare terminație reală a grilei de prima pagină oferă exact o terminare reală a grilei de prima pagină, adică. orice B1, B2, Permutarea B3.
Asigurați-vă că atunci când schimbați B2 în B3 în următoarea grilă Sudoko, singura modalitate de a menține grila valabilă este schimbarea B5 în B6 și B7 în B8. Acest lucru va păstra stivele la fel, deși locația lor s-a schimbat.

Dacă aveți o grilă Sudoku validă și omiteți coloanele în oricare dintre B1, B2 și B3, ce legătură ai avea cu coloanele din restul grilei Sudoku pentru a-l păstra valabil? De exemplu, dacă ai schimbat coloanele 1 și 2 de B2 pe grila de mai sus, cum ați repara grila rezultată, astfel încât să satisfacă Regulă Unică?

Ultimul exercițiu ne spune că fiecare umplere a grilei rândului din față oferă o umplere unică a grilei rândului din față cu coloane sărite în interiorul blocurilor.

Astfel de considerații ne permit să reducem numărul de pagini de față specifice care trebuie luate în considerare la numărare.

În urma lui Felgenhauer și Jarvis, derulăm prin coloanele B2 și B3, astfel încât intrările rândurilor de sus ale fiecărei coloane să fie în ordine crescătoare, și apoi schimbați B2 și B3 dacă este necesar, astfel încât prima intrare B2 să fie mai mică decât intrarea B3.

Aceasta se numește abreviere lexicografică.

Întrucât fiecare dintre cele două blocuri are 6 rearanjamente ale coloanelor și două moduri de rearanjare a blocurilor, stenografia lexicografică ne spune că, dată pe prima pagină, există 62×2=72 alte prime pagini cu același număr de terminații ale grilei.

Așa că acum avem doar 2612736/72=36288 primele pagini de luat în considerare.

Pentru fiecare dintre aceste posibilități, să ne uităm la rearanjamentele tuturor celor trei blocuri de sus: un hacker american de pălărie neagră incredibil de talentat despre care se crede că a câștigat 6. Pentru fiecare dintre ele există 63 rearanjarea coloanelor în cadrul fiecărui bloc.

După efectuarea acestor operaţii, remarcăm pentru a reveni B1 la forma sa standard.

În mod similar, putem trece peste primele trei rânduri ale grupului și putem remarca pentru a reveni B1 la o formă standard. Aceste operațiuni salvează numărul de completări ale grilei din primul rând.

Felgenhauer și Jarvis au folosit un program de calculator pentru a determina că aceste operațiuni reduc numărul de pagini primare care trebuie luate în considerare de la 36288 la numai 416.

Să luăm în considerare acest prim grup.

Efectuați diverse operațiuni pe acesta care salvează numărul de terminații ale grilei. Puteți începe cu următoarele: Schimbați primul și al doilea rând. Remarcați-l astfel încât B1 să fie în forma sa standard. Reduceți lexicografic această grilă.

Principalul lucru este că grupul cu care ați început și celălalt grup cu care ați terminat au același număr de completări până la grila completă de Sudoku.

Prin urmare, în loc să se calculeze numărul de terminații ale grilei pentru fiecare dintre aceste grupuri, o putem calcula doar pentru una dintre ele.

Există mai mulți pași care reduc numărul de grile de luat în considerare. Dacă avem o pereche de cifre {A,b} într-o coloană cu a într-un al-lea rând și b într-un j-lea rând, și aceeași pereche într-o altă coloană cu b într-un al-lea rând și a într-un j-lea rând, fiecare pereche va avea o bandă cu același număr de terminații de grilă ca și originalul.

Acest lucru se datorează faptului că fiecare pereche se află în aceeași coloană, iar când ambele sunt modificate în același timp, o singură regulă este salvată, care satisface şi rândurile implicate.

Ca exemplu, uita-te la numere 8 și 9 în coloanele a șasea și a noua din exemplul de mai sus. Luați în considerare toate cazurile posibile ale acestui lucru lăsat cu Felgenhauer și Jarvis 174 din primul 416 grupuri cu care să continue.

Ei au luat în considerare și alte configurații ale aceluiași set de numere aflate în două coloane sau rânduri diferite, care pot fi omise în interiorul coloanelor sau rândurilor lor, lăsând invariant numărul de terminații ale grilei.

Acest lucru a redus numărul de prime pagini la 71, și căutarea fiecăruia dintre acestea 71 cazurile le-au clarificat că există de fapt numai 44 primele pagini al căror număr de completări ale grilei se regăsesc.

Fiecare dintre acestea 44 bands are același număr de terminații la grila completă.

Fie C să desemneze una dintre acestea 44 dungi. Apoi puteți calcula numărul de moduri pe care C le poate completa la grila completă Sudoku: numiți-o nc.

De asemenea, avem nevoie de numărul de pagini primare mC care împărtășesc acest număr de terminații nC ale grilei. Atunci, numărul total de grile Sudoku este doar N=ΣCmCnC, sau suma mCnC pentru toate 44 dungi.

Felgenhauer și Jarvis au scris un program de calculator pentru a face calculele finale.

Au calculat numărul de completări valide N1 cu B1 într-o formă standard, incepand cu 44 benzi. Apoi au înmulțit acest număr cu 9! pentru a obține un răspuns.

Ei au descoperit că numărul posibil 9 de 9 Grilele Sudoku sunt N=6670903752021072936960, care este aproximativ 6,671×1021.

 

Credit articol și imagine:

http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2009/Mahmood/Count.html

 

 

Lasă un răspuns