解决了! 加州理工学院的研究人员帮助裂缝长达数十年的数学问题

斯皮罗斯Michalakis, 推广和研究人员的经理在加州理工学院研究所量子信息与物质 (IQIM), 和马修·黑斯廷斯, 微软研究员, 解决了世界上最具挑战性的问题开一个数学物理领域. 问题, 有关 “量子霍尔效应,” 在第一次提出 1999 作为一个 13 包括在由迈克尔·艾泽曼保存的名单上显著未解决的问题, 在普林斯顿大学物理学和数学教授和的前总统 国际数学物理联合会.

像 “千年” 在提出由克雷数学研究所的数学难题 2000, 背后的想法 这些问题 是记录数学物理学中一些最令人困惑的未解谜题——这个领域使用严格的数学推理来解决物理问题. 至今, 通过Michalakis承担的问题是完全解决了只有一个, 而另一个已经部分解决. 在局部解决的问题所取得的进展已经产生了两个菲尔兹奖, 狮王数学.

“我希望解决这个问题，将搞活数学物理领域的兴趣,” Michalakis说. “在数学物理, 我们来看一组最小的假设下，我们可以证明的现象是多么重要的物理出现. 和, 经常是在数学显著问题的证据的情况下, 该解决方案导致了打开大门，解决其他几个重要问题的新思路和技术。”

离奇的电子行为

原来的量子霍尔效应是在埃德温·霍尔在一个开创性的实验发现 1879 这表明, 首次, 在金属，使得电流可以在磁场的存在下与表面垂直偏转. 后来, 在 1980, 德国实验物理学家克劳斯·冯·克利青在显著较低的温度下，用更强的磁场进行霍尔的原始电导实验, 才发现，电流在量化的方式偏转. 换一种说法, 作为磁场的强度增加, 在金属的电导的上升是不是渐进的或线性的, 作为经典物理学预测, 但在一步一步地向上进展. 对于这一发现, 冯·克利青被授予诺贝尔物理学奖 1985.

“这是一个美丽的问题,” 黑斯廷斯说：. “它开始试验通过霍尔在19世纪，由冯·克利青粗 100 霍尔之后的几年. 量子霍尔效应的非凡之处在于，即使材料中存在天然杂质，也能进行精确的量化。” 黑斯廷斯说，杂质会影响电流流过材料的路径. “这些杂质是随机分布在材料，所以你可能会认为他们会对电导随机效应, 但他们没有。”

两年后，冯·克利青的发现, 实验者霍斯特·斯氏和丹尼尔·翠表明一些更令人费解: 在极端条件下 (甚至更低的温度和更强的磁场), 霍尔电导在什么先前已观察到的分数倍数量化. 这是因为如果不知何故电子本身正在分裂成更小的颗粒, 每个承载电子的电荷的一小部分. 司氏和翠, 随着理论物理学家罗伯特·劳克林, 共同获得诺贝尔物理学奖 1998 他们对这一问题的工作.

无论是整数和小数量子霍尔效应表明，在这些系统中的电子被莫名其妙地在统一的共同作用, 全球性的方式, 尽管他们正常的倾向会那样，相互弹开个别乒乓球. 即使在该领域取得的所有进步, 问题 怎么样 电子做此徘徊.

的一种数学方法

Michalakis开始工作的问题，早在 2008 在洛斯阿拉莫斯国家实验室, 在那里，他在数学博士后学者. 他建立他的研究对黑斯廷斯的开创性工作, 他当时的顾问, 谁开发了新的数学工具进行审议量子霍尔效应, 基于几十年的研究由他人. Michalakis说，通过前面所有的文学作品阅读证明几乎与解决问题本身充满挑战.

“有已经存在的众多研究,” 他说. “而且大部分需要物理的高级知识. 从数学背景的, 我不得不分解成小块破题, 每一个我能解决. 基本上, 我决定知识的人，山底下挖去另一边。”

到最终的解决方案的关键是拓扑, 这是由它们的形状数学描述的对象的方式.

“拓扑是不改变形状的特性的研究，当形状弯曲或拉伸,” 黑斯廷斯说：. “例如, 甜甜圈可以被拉伸到一个咖啡杯的形状, 但它不能不撕裂就变成一个球体. 像这样的东西是霍尔效应的背后: 电导不改变，即使有在材料中的杂质。”

在 Michalakis 和 Hastings 参与之前，就提出了拓扑是量子霍尔效应背后的想法, 但这些研究人员被迫做出两个假设之一——描述系统的数学空间的全局视图等于局部视图, 或者系统中的电子没有相互作用. 第一个数学假设被怀疑是不正确的, 而第二个物理假设是不现实的.

“处于物质的拓扑状态, 电子失去身份. 你得到一个更分散的, 稳定的, 像单个物体一样工作的纠缠系统,” Michalakis说. “我们之前的研究人员意识到，这可以解释量子霍尔电导的全局特性. 但他们假设放大视图与缩小视图相同。”

弄清楚如何消除这两个假设最终是困扰数学物理学界的问题, 促使他们将量子霍尔效应指定为世纪之交的一个重大开放性问题.

Michalakis 和 Hastings 通过以一种新颖的方式将全局图片与局部图片联系起来，成功地消除了这些假设. 为了说明他们的方法, 想象一下远离地球. 看到一个没有山脉和山谷的球体, 你可能认为你可以毫无障碍地环游地球. 但是当你回到地球, 你意识到这是不可能的——你必须穿越山脉和山谷. 什么米哈拉基斯和黑斯廷斯’ 解决方案, 在数学意义上, 是确定一个开放的, 没有遇到任何低谷或高峰的平坦路径, 本质上与您从上方全局感知的幻觉相匹配.

“我使用了马特的工具和其他研究中的相关想法来证明这样的路径总是存在的，而且人们很容易找到它, 如果有人知道如何寻找它,” Michalakis说. “霍尔电导, 事实证明, 等于路径围绕描述量子霍尔系统的数学形状的拓扑特征的次数. 这就解释了为什么霍尔电导是整数, 以及为什么它对物理材料中的杂质如此强大. 杂质就像你决定从“黄金”中走的小弯路’ 小路, 当你环游世界时. 它们不会影响您决定环游世界的次数。”

消化证明

Michalakis和黑斯廷斯的实际证明当然是更复杂的; 最初的证明相当于 40 数学推理页面, 但一个艰苦的编辑处理后的, 被削减到 30 网页. 他们提交了他们的解决方案 2009 但它需要时间的专家消化的结果, 并证明没有正式公布 在数学物理通讯 直到 2015.

它出版了两半年后, 数学物理学家的社会正式承认的解决方案, 将问题标记在 网站列表 如 “解决了。”

“花了很长时间, 事实上六年, 论文发表, 甚至更长时间被理解并获得应有的影响和影响,” 约瑟夫·阿夫隆说, 以色列理工学院物理学教授, 写在 四月 2018 通讯 国际数学物理协会会员.

米哈拉基斯说, “证明结果所需的一组假设比专家预期的要小, 这意味着宏观量子效应, 像量子霍尔效应, 在几个不同的设置应该出现. 这将打开新的大门和思考量子计算和量子等科学的方法。”

资源:

HTTP://www.caltech.edu, 惠特尼Clavin