resuelto! Caltech Investigador ayuda a décadas de antigüedad de la grieta de problemas matemáticos

Spiros Michalakis, gerente de extensión y personal investigador en el Instituto de Caltech de información cuántica y la Materia (IQIM), y Matthew Hastings, investigador de Microsoft, han resuelto uno de los problemas abiertos más desafiantes del mundo en el campo de la física matemática. El problema, relacionado a la “efecto Hall cuántico,” fue propuesto por primera vez en 1999 como uno de 13 problemas sin resolver importantes que deben incluirse en una lista mantenida por Michael Aizenman, un profesor de física y matemáticas en la Universidad de Princeton y el ex presidente de la Asociación Internacional de Física Matemática.

Como el “milenio” desafíos matemáticos presentados por el Clay Mathematics Institute en 2000, la idea detrás estos problemas fue registrar algunos de los acertijos sin resolver más desconcertantes de la física matemática, un campo que utiliza un razonamiento matemático riguroso para abordar cuestiones de física. Hasta aquí, el problema emprendida por Michalakis es el único totalmente resuelto, mientras que otro se ha resuelto parcialmente. Los progresos realizados en el problema resuelto parcialmente ha dado lugar a dos medallas Fields, el más alto honor en matemáticas.

“Espero que la solución a este problema ayude a reforzar el interés en el campo de la física matemática,” dice Michalakis. “en la física matemática, buscamos un conjunto mínimo de suposiciones bajo las cuales podamos mostrar cómo surgen fenómenos importantes en la física. Y, como suele ser el caso con las demostraciones de problemas significativos en matemáticas, la solución conduce a nuevas ideas y técnicas que abren las puertas para resolver otras cuestiones importantes.”

Comportamiento extraño de electrones

El efecto Hall cuántico original fue descubierto en un experimento innovador por Edwin Hall en 1879 que mostraron, por primera vez, que las corrientes eléctricas en un metal pueden ser desviados en la presencia de un campo magnético perpendicular a la superficie. Luego, en 1980, Alemán físico experimental Klaus von Klitzing realizó el experimento original de la conductancia de Hall a una temperatura significativamente más baja y con un campo magnético más fuerte, sólo para descubrir que la corriente eléctrica fue desviado de manera cuantificada. En otras palabras, como la fuerza del campo magnético aumenta, el aumento en la conductancia eléctrica del metal no fue gradual o lineal, como predijo la física clásica, pero progresado hacia arriba de una manera paso a paso. Por este descubrimiento, von Klitzing fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1985.

“Este es un hermoso problema,” dice Hastings. “Comenzó con los experimentos por Hall en el siglo 19 y por von Klitzing más o menos 100 años después de Hall. Lo notable del efecto Hall cuántico es la cuantización precisa incluso cuando hay impurezas naturales en el material.” Hastings dice que las impurezas pueden afectar el camino por el cual la corriente fluye a través de los materiales.. “Estas impurezas se distribuyen al azar en el material por lo que se podría pensar que tendrían un efecto aleatorio de la conductancia, pero no lo hacen.”

Dos años después del descubrimiento de von Klitzing, experimentadores Horst Stormer y Daniel Tsui mostraron algo aún más desconcertante: bajo condiciones extremas (Las temperaturas aún más bajas y campos magnéticos más fuertes), la conductancia Hall fue cuantificado en múltiplos fraccionarios de lo que se había observado previamente. Es como si de alguna manera a sí mismos electrones estaban siendo dividido en partículas más pequeñas, llevando cada uno una fracción de la carga del electrón. Störmer y Tsui, junto con físico teórico Robert Laughlin, compartió el Premio Nobel de Física en 1998 por su trabajo sobre este problema.

Tanto los efectos enteros y hall cuántico fraccionario indican que los electrones en estos sistemas son de alguna manera actúan juntos en un unificado, de manera global, a pesar de sus tendencias normales a comportarse como pelotas de ping pong individuales que rebotan entre sí. Incluso con todos los avances en el campo, La pregunta de cómo los electrones no se detuvieron este.

Una aproximación matemática

Michalakis comenzó a trabajar en el problema de vuelta en 2008 en el Laboratorio Nacional de Los Álamos, donde fue un erudito postdoctoral en matemáticas. Él construyó su investigación sobre el trabajo pionero de Hastings, su asesor en el momento, que habían desarrollado nuevas herramientas matemáticas para examinar el efecto Hall cuántico, basado en décadas de investigación por los demás. Michalakis dice que la lectura a través de toda la literatura anterior resultó casi tan difícil como resolver el problema en sí.

“Había una montaña de la investigación que ya existía,” él dice. “Y la mayor parte requiere un conocimiento avanzado de la física. Viniendo de un fondo de matemáticas, Tuve que dividir el problema en trozos pequeños, cada uno de los cuales pude resolver. Básicamente, Decidí excavar bajo esa montaña de conocimiento para llegar al otro lado.”

Una clave para la solución definitiva es la topología, que es una forma de describir matemáticamente objetos por sus formas.

“La topología es el estudio de las propiedades de las figuras que no cambian cuando la forma está doblado o estirado,” dice Hastings. “Por ejemplo, un donut puede ser estirado en la forma de una taza de café, pero no se puede convertir en una esfera sin rasgar. Algo así está detrás del efecto Hall: la conductancia no cambia aunque haya impurezas en el material.”

La idea de que la topología estaba detrás del efecto Hall cuántico se invocó antes de que Michalakis y Hastings se involucraran., pero esos investigadores se vieron obligados a hacer una de dos suposiciones: que la vista global del espacio matemático que describe el sistema era igual a la vista local, o que los electrones en el sistema no interactuaron entre sí. Se sospechó que la primera suposición matemática era incorrecta., mientras que el segundo supuesto físico no era realista.

“En un estado topológico de la materia, los electrones pierden su identidad. Usted consigue una más dispersa, estable, sistema enredado que actúa como un solo objeto,” dice Michalakis. “Los investigadores que se nos dieron cuenta de que esto explicaría las propiedades globales de la conductancia Hall cuántico. Pero hicieron una suposición de que la vista zoom en la era la misma que la vista ampliada de salida.”

Encontrar la manera de eliminar estos dos supuestos es en definitiva lo perplejo la comunidad de la física matemática, impulsándolos para designar el efecto Hall cuántico un problema abierto significativa en el cambio de siglo.

Michalakis y Hastings tuvieron éxito en la eliminación de las suposiciones conectando la imagen global de la imagen local de una manera novedosa. Para ilustrar su enfoque, imaginar el zoom de la Tierra. Al ver una esfera sin montañas y valles, se podría pensar que podría viajar por todo el planeta sin obstáculos. Pero cuando se llega a la Tierra, te das cuenta de que eso no es posible, tienes que atravesar montañas y valles. Lo que Michalakis y Hastings’ la solución hace, en un sentido matemático, es identificar un abierto, camino llano que no encuentra depresiones ni picos, en esencia igualando la ilusión de lo que habías percibido globalmente desde arriba.

“Usé las herramientas de Matt e ideas relacionadas de otras investigaciones para mostrar que ese camino siempre existe y que uno podría encontrarlo fácilmente., si uno supiera buscarlo,” dice Michalakis. “La conductancia Hall, resulta, es igual al número de veces que el camino serpentea alrededor de las características topológicas de la forma matemática que describe el sistema Hall cuántico. Eso explica por qué la conductancia de Hall es un número entero., y por qué es tan resistente contra las impurezas en el material físico. Las impurezas son como pequeños desvíos que decides tomar del 'dorado'.’ camino, mientras viajas por el mundo. No afectarán la cantidad de veces que decidas dar la vuelta al mundo.”

Digerir la prueba

La prueba real de Michalakis y Hastings es, por supuesto, más compleja; la prueba inicial ascendía a 40 paginas de razonamiento matematico, pero después de un minucioso proceso de edición, fue reducido a 30 paginas. Presentaron su solución en 2009 pero a los expertos les tomó tiempo digerir el resultado, y la prueba no fue publicada oficialmente en Comunicaciones en Física Matemática Hasta que 2015.

Dos años y medio después de su publicación, la comunidad de físicos matemáticos reconoció oficialmente la solución, marcando el problema en el lista de sitios web como “resuelto”

“Llevó mucho tiempo, seis años de hecho, para que se publique el artículo, y aún más para ser entendido y ganar la influencia y el impacto que merecía,” dijo Joseph Avron, profesor de física en Technion-Israel Institute of Technology, escribiendo en el abril 2018 Boletin informativo de la Asociación Internacional de Física Matemática.

dice michalakis, “El conjunto de suposiciones necesarias para probar el resultado resultó ser más pequeño de lo que los expertos esperaban., lo que implica que los efectos cuánticos macroscópicos, como el efecto Hall cuántico, debe surgir de varias configuraciones diferentes. Esto abre nuevas puertas y formas de pensar acerca de la computación cuántica y otras ciencias cuánticas.”

Fuente:

http://www.caltech.edu, por Whitney Clavin