gelöst! Caltech-Forscher Helfen Riss Jahrzehnte altes mathematisches Problem

Spiros Michalakis, Manager von Reichweite und Mitarbeiter Forscher am California Institute of Technology Institut für Quanteninformation und Materie (IQIM), und Matthew Hastings, ein Forscher an Microsoft, hat eine der weltweit schwierigsten offenen Probleme auf dem Gebiet der mathematischen Physik gelöst. Das Problem, verwandt mit “Quanten-Hall-Effekt,” Zunächst wurde vorgeschlagen, in 1999 als einer von 13 erhebliche ungelöste Probleme auf einer Liste von Michael Aizenman beibehalten aufgenommen werden, Professor für Physik und Mathematik an der Princeton University und der ehemalige Präsident der International Association of Mathematical Physics.

Wie “Millennium” Mathe Herausforderungen des Clay Mathematics Institute setzen, die in 2000, die Idee, die hinter diese Probleme war es, einige der verwirrendsten ungelösten Rätsel in der mathematischen Physik aufzuzeichnen – einem Gebiet, das strenge mathematische Argumente verwendet, um physikalische Fragen zu beantworten. Bisher, das Problem durch Michalakis unternommen ist der einzige vollständig gelöst, während ein anderer Teil gelöst wurde. Fortschritte bei dem teilweise gelösten Problem sind in zwei Fields-Medaillen resultieren, die höchste Auszeichnung in der Mathematik.

“Ich hoffe, dass die Lösung dieses Problems Interesse auf dem Gebiet der mathematischen Physik beleben wird,” sagt Michalakis. “In der mathematischen Physik, Wir suchen nach einem minimalen Satz von Annahmen, unter denen wir, wie wichtige Phänomene in der Physik zeigen können entstehen,. Und, wie es oft der Fall mit Beweisen von erheblichen Problemen in Mathematik, die Lösung führt zu neuen Ideen und Techniken, die die Türen zu lösen einige andere wichtige Fragen offen.”

Bizarres Electron Verhalten

Der ursprüngliche Quanten-Hall-Effekt wurde in einem wegweisenden Experiment von Edwin Hall entdeckt 1879 dass zeigte, zum ersten Mal, dass elektrische Ströme in einer Metalldose senkrecht zu der Oberfläche in der Gegenwart eines magnetischen Feldes abgelenkt werden,. Später, im 1980, Deutsch Experimentalphysiker Klaus von Klitzing durchgeführten Halls ursprünglichem Leitwert Experiment bei einer deutlich niedrigeren Temperatur und mit einem stärkeren Magnetfeld, nur um zu entdecken, dass der elektrische Strom in einer quantisiert Art und Weise abgelenkt wurde. Mit anderen Worten, Da die Stärke des Magnetfelds erhöht, Der Anstieg der elektrischen Leitfähigkeit des Metalls war nicht linear oder stufen, wie die klassische Physik vorhergesagt, aber fortgeschritten nach oben in einer Schritt-für-Schritt-Weise. Für diese Entdeckung, von Klitzing wurde der Nobelpreis für Physik ausgezeichnet in 1985.

“Dies ist ein schönes Problem,” sagt Hastings. “Es begann mit Experimenten, die von Halle im 19. Jahrhundert und von von Klitzing grob 100 Jahre nach Hall. Das Bemerkenswerte am Quanten-Hall-Effekt ist die präzise Quantisierung auch bei natürlichen Verunreinigungen im Material.” Laut Hastings können die Verunreinigungen den Weg beeinflussen, auf dem Strom durch Materialien fließt. “Diese Verunreinigungen werden zufällig in dem Material verteilt, so dass Sie vielleicht denken, sie einen zufälligen Effekt auf die Leitfähigkeit haben würde, aber sie tun es nicht.”

Zwei Jahre nach von Klitzing Entdeckung, Experimentatoren Horst Störmer und Daniel Tsui zeigte etwas noch rätselhaft: unter extremen Bedingungen (noch niedrigere Temperaturen und stärkeren Magnetfeldern), die Hall-Leitfähigkeit wurde in fraktionierten Multiples von quantisiert, was zuvor beobachtet worden war. Es ist, als ob irgendwie sich Elektronen in kleinere Partikel aufgespalten wurden, Jede trägt einen Bruchteil der Ladung des Elektrons. Störmer und Tsui, zusammen mit theoretischem Physiker Robert Laughlin, der Nobelpreis für Physik geteilt in 1998 für ihre Arbeit an diesem Problem.

Sowohl der Ganzzahl- als auch der Bruchteil-Quanten-Hall-Effekt weisen darauf hin, dass die Elektronen in diesen Systemen irgendwie in einer Einheit zusammenwirken, globale Weise, trotz ihrer normalen Tendenz, sich wie einzelne Tischtennisbälle zu verhalten, die voneinander abprallen. Trotz aller Fortschritte auf dem Gebiet, die Frage nach wie die Elektronen tun dies verweilte.

Ein mathematischer Ansatz

Michalakis begann wieder mit der Arbeit an dem Problem 2008 im Los Alamos National Laboratory, wo er Postdoktorand in Mathematik war. Er baute seine Forschung auf der Pionierarbeit von Hastings auf, sein damaliger Berater, der neue mathematische Werkzeuge zur Untersuchung des Quanten-Hall-Effekts entwickelt hatte, basierend auf jahrzehntelanger Forschung anderer. Michalakis sagt, dass sich das Lesen der gesamten bisherigen Literatur als fast so herausfordernd herausgestellt hat wie das Lösen des Problems selbst.

“Es gab einen Berg an Forschung, der bereits existierte,” er sagt. “Und das meiste davon erforderte fortgeschrittene Kenntnisse der Physik. Komme aus einem mathematischen Hintergrund, Ich musste das Problem in kleine Stücke zerlegen, jede davon konnte ich lösen. Grundsätzlich gilt, Ich beschloss, unter diesem Berg an Wissen zu graben, um auf die andere Seite zu gelangen.”

Ein Schlüssel zur ultimativen Lösung ist die Topologie, Dies ist eine Möglichkeit, Objekte mathematisch durch ihre Formen zu beschreiben.

“Topologie ist das Studium der Eigenschaften von Formen, die sich nicht ändern, wenn die Form gebogen oder gestreckt wird,” sagt Hastings. “Beispielsweise, Ein Donut kann in die Form einer Kaffeetasse gedehnt werden, aber es kann nicht in eine Kugel verwandelt werden, ohne zu zerreißen. So etwas steckt hinter dem Hall-Effekt: der Leitwert wird nicht verändert, obwohl Verunreinigungen im Material vorhanden sind.”

Die Idee, dass Topologie hinter dem Quanten-Hall-Effekt war, bevor Michalakis aufgerufen und Hastings wurde beteiligt, aber die Forscher hatten eine von zwei zu machen gezwungen Annahmen, entweder, dass die globale Sicht des mathematischen Raum des Systems beschreibt, war gleich der lokalen Sicht, oder dass die Elektronen im System traten nicht in Wechselwirkung miteinander. Die erste mathematische Annahme wurde vermutet, falsch zu sein, während der zweite war körperliche Annahme nicht realistisch.

“In einem topologischen Zustand der Materie, Elektronen verlieren ihre Identität. Sie erhalten eine breitere Streuung, stabil, verschränktes System, das wie ein einzelnes Objekt wirkt,” sagt Michalakis. “Forscher vor uns erkannten, dass dies die globalen Eigenschaften der Quanten-Hall-Leitfähigkeit erklären würde. Sie gingen jedoch davon aus, dass die vergrößerte Ansicht mit der verkleinerten Ansicht identisch war.”

Herauszufinden, wie man diese beiden Annahmen beseitigen kann, war letztendlich das, was die mathematische Physik-Community ratlos machte, was sie dazu veranlasste, den Quanten-Hall-Effekt um die Jahrhundertwende als ein bedeutendes offenes Problem zu bezeichnen.

Michalakis und Hastings gelang es, die Annahmen aufzuheben, indem sie das globale Bild auf neuartige Weise mit dem lokalen Bild verbanden. Um ihren Ansatz zu veranschaulichen, Stellen Sie sich vor, Sie zoomen von der Erde weg. Eine Sphäre ohne Berge und Täler sehen, könnte man denken Sie ohne Hindernisse rund um den Planeten reisen konnten. Aber wenn Sie kommen zurück zur Erde, merkt man, das ist nicht möglich-Sie haben Berge und Täler zu durchqueren. Was Michalakis und Hastings’ Lösung tut, im mathematischen Sinne, ist ein offenes zu identifizieren, ebener Weg, der keine Einbrüche oder Spitzen nicht auftreten, im Wesentlichen passend die Illusion von dem, was man von oben global wahrgenommen hatte.

“Ich habe Matts Werkzeuge und verwandte Ideen aus anderen Forschungen verwendet, um zu zeigen, dass ein solcher Weg immer existiert und dass man ihn leicht finden kann, wenn man wüsste, wie man danach sucht,” sagt Michalakis. “Der Hall-Leitwert, es stellt sich heraus, ist gleich der Anzahl, wie oft sich dieser Pfad um die topologischen Merkmale der mathematischen Form windet, die das Quanten-Hall-System beschreibt. Das erklärt, warum der Hall-Leitwert ganzzahlig ist, und warum es so robust gegenüber Verunreinigungen im physikalischen Material ist. Verunreinigungen sind wie kleine Umwege, die Sie vom „Goldenen“ nehmen’ Weg, während du um die Welt reist. Sie haben keinen Einfluss darauf, wie oft Sie sich entscheiden, um die Welt zu reisen.”

Den Beweis verdauen

Der eigentliche Beweis von Michalakis und Hastings ist natürlich komplexer; der anfängliche Beweis belief sich auf 40 Seiten der mathematischen Argumentation, aber nach einem mühsamen Bearbeitungsprozess, wurde heruntergekürzt 30 Seiten. Sie reichten ihre Lösung ein 2009 aber die Experten brauchten Zeit, um das Ergebnis zu verdauen, und der Beweis wurde nicht offiziell in veröffentlicht Kommunikation in der mathematischen Physik bis 2015.

Zweieinhalb Jahre nach der Veröffentlichung, Die Gemeinschaft der mathematischen Physiker hat die Lösung offiziell anerkannt, Kennzeichnung des Problems auf der Website-Liste wie “gelöst.”

“Es dauerte eine lange Zeit, eigentlich sechs Jahre, damit das Papier veröffentlicht wird, und noch länger, um verstanden zu werden und den Einfluss und die Wirkung zu erlangen, die es verdient,” sagte Josef Avron, Professor für Physik am Technion-Israel Institute of Technology, Schreiben im April 2018 Newsletter der International Association of Mathematical Physics.

sagt Michalakis, “Der Satz an Annahmen, der zum Beweis des Ergebnisses erforderlich war, erwies sich als geringer als von Experten erwartet, was impliziert, dass makroskopische Quanteneffekte, wie der Quanten-Hall-Effekt, in verschiedenen Einstellungen entstehen sollte. Dies eröffnet neue Möglichkeiten und Wege des Denkens über Quanten-Computing und andere Quantenwissenschaften.”

Quelle:

http://www.caltech.edu, von Whitney Clavin