Спирос Михалакис, менеджер по связям с общественностью и штатный исследователь в Институте квантовой информации и материи Калифорнийского технологического института (ИКИМ), и Мэтью Гастингс, исследователь в Microsoft, решили одну из самых сложных открытых проблем в области математической физики.. Эта проблема, связанный с “квантовый эффект холла,” была впервые предложена в 1999 в качестве одного из 13 значительные нерешенные проблемы, которые должны быть включены в список, Майкл Айзенман, профессор физики и математики в Принстонском университете и бывший президент Международная ассоциация математической физики.

Словно “тысячелетие” математические задачи, выдвинутые Институт Глина математики в 2000, идея эти проблемы заключалась в том, чтобы записать некоторые из самых запутанных нерешенных головоломок в математической физике - области, которая использует строгие математические рассуждения для решения вопросов физики. До сих пор, проблема, взятая Михалакисом, - единственная полностью решенная, в то время как другой был частично решен. Прогресс, достигнутый в частично решенной проблеме, привел к получению двух полевых медалей., высшая награда в математике.

“Надеюсь, что решение этой проблемы оживит интерес к области математической физики.,” говорит Михалакис. “В математической физике, мы ищем минимальный набор предположений, при которых мы можем показать, как возникают важные явления в физике.. А также, как это часто бывает с доказательствами значительных проблем в математике, решение приводит к новым идеям и методам, которые открывают двери для решения ряда других важных вопросов.”

Причудливое электронное поведение

Первоначальный квантовый эффект Холла был обнаружен в новаторском эксперименте Эдвина Холла в 1879 это показало, в первый раз, что электрические токи в металле могут отклоняться в присутствии магнитного поля, перпендикулярного поверхности. Потом, в 1980, Немецкий физик-экспериментатор Клаус фон Клитцинг провел оригинальный эксперимент Холла по проводимости при значительно более низкой температуре и с более сильным магнитным полем., только для того, чтобы обнаружить, что электрический ток отклоняется квантованным образом. Другими словами, по мере увеличения напряженности магнитного поля, Повышение электропроводности металла не было постепенным или линейным, как предсказывала классическая физика, но постепенно продвигалась вверх. За это открытие, фон Клитцинг был удостоен Нобелевской премии по физике в 1985.

“Это красивая проблема,” говорит Гастингс. “Он начался с экспериментов Холла в 19 веке и фон Клитцинга примерно 100 годы после Холла. Замечательная особенность квантового эффекта Холла - точное квантование, даже когда в материале есть естественные примеси.” Гастингс говорит, что примеси могут влиять на путь, по которому ток течет через материалы.. “Эти примеси случайным образом распределены в материале, поэтому вы можете подумать, что они случайным образом повлияют на проводимость., но они этого не делают.”

Через два года после открытия фон Клитцинга, экспериментаторы Хорст Стёрмер и Даниэль Цуй показали нечто еще более загадочное.: в экстремальных условиях (еще более низкие температуры и более сильные магнитные поля), проводимость Холла была квантована в долях, кратных тому, что наблюдалось ранее.. Это как если бы каким-то образом сами электроны были разделены на более мелкие частицы, каждый из которых несет часть заряда электрона. Штёрмер и Tsui, наряду с теоретическим физиком Робертом Лафлин, разделил Нобелевскую премию по физике 1998 для их работы по этой проблеме.

И целые и дробный квантовый эффект Холл эффекты показывают, что электроны в этих системах, так или иначе действуют совместно в унифицированном, глобальный порядок, несмотря на нормальные тенденции вести себя как отдельные пинг-понг шары, которые отскакивают друг от друга. Даже с учетом всех достижений в области, вопрос как электроны делают это задержалось.

Математический подход

Михалакис начал работать над проблемой еще в 2008 в Лос-Аламосской национальной лаборатории, где он был докторской ученый в области математики. Он построил свое исследование на пионерской работе Hastings, его советник в то время, которые были разработаны новые математические инструменты для тщательного квантового эффекта Холла, на основе десятилетий исследований, проведенных другими. Михалакис говорит, что чтение всей предыдущей литературы оказалось почти таким же трудным делом, как и решение самой проблемы..

“Была гора исследований, которые уже существовали,” он говорит. “И большая часть этого требовала глубоких знаний физики.. Исходя из математики, Пришлось разбить проблему на мелкие кусочки, каждый из которых я мог решить. В принципе, Я решил копнуть под этой горой знаний, чтобы перейти на другую сторону.”

Ключ к окончательному решению - топология, которая представляет собой способ математического описания объектов по их форме.

“Топология является изучение свойств фигур, которые не меняются, когда форма изгибается или растягивается,” говорит Гастингс. “Например, пончик может быть растянут в форму чашки кофе, но его нельзя превратить в сферу, не разорвав. Что-то вроде этого стоит за эффектом Холла: проводимость не изменяется, даже если есть примеси в материале.”

Идея, что топология была позади квантового эффекта Холла была вызвана, прежде Михалакис и Гастингс был вовлечен, но эти исследователи были вынуждены сделать одно из двух предположений: либо о том, что глобальное представление математического пространства, описывающем систему было равно локальной точка зрения, или что электроны в системе не взаимодействуют друг с другом. Первый математическое предположение было предположительно неправильным, в то время как второе физическое предположение было нереально.

“В топологическом состоянии вещества, электроны теряют свою идентичность. Вы получаете более широкий, стабильный, запутанная система, которая действует как единый объект,” говорит Михалакис. “До нас исследователи поняли, что это объясняет глобальные свойства квантовой холловской проводимости.. Но они сделали предположение, что увеличенное изображение было таким же, как и уменьшенное.”

Выяснение того, как избавиться от обоих этих предположений, в конечном итоге поставило сообщество математической физики в тупик., подстегиваете их для обозначения квантового эффекта Холла существенной открытой проблемы на рубеже веков.

Михалакис и Гастингс удалось отстранить предположения, подключив глобальную картину к местной картине по-новому. Для того, чтобы проиллюстрировать свой подход, представьте себе масштабирование от Земли. Видя сферу без гор и долин, Вы можете подумать, вы могли путешествовать по всей планете без каких-либо препятствий. Но когда вы вернетесь на Землю, Вы понимаете, что это невозможно, вы должны пройти через горы и долины. Что Михалакис и Гастингс’ решение делает, в математическом смысле, заключается в определении открытой, плоский путь, который не встречает никаких провалов или пиков, в сущности соответствие иллюзию того, что вы уже воспринимается глобально сверху.

“Я использовал инструменты Мэтта и связанные с ними идеи из других исследований, чтобы показать, что такой путь всегда существует и что можно было бы легко найти его, если один знал, как искать его,” говорит Михалакис. “Проводимость зал, Оказывается, равно количеству раз, что путь огибает топологические особенности математической формы, описывающей систему квантового эффекта Холла. Это объясняет, почему проводимость Холла является целым числом, и почему это так устойчивы к примесям в физическом материале. Примеси как маленькие обходов вы решили взять из «золотой’ дорожка, как вы путешествуете по всему миру. Они не будут влиять на сколько раз вы решили идти по всему миру.”

Переваривание Proof

Фактическое доказательство Михалакиса и Гастингса, конечно, более сложное.; первоначальное доказательство составило 40 страницы математических рассуждений, но после кропотливого редактирования, был сокращен до 30 страницы. Они представили свое решение в 2009 но экспертам потребовалось время, чтобы переварить результат, и доказательство не было официально опубликовано в Коммуникации по математической физике до 2015.

Через два с половиной года после публикации, Сообщество физиков-математиков официально признало решение, отметив проблему на список веб-сайтов так как “решено.”

“Это заняло много времени, шесть лет на самом деле, для публикации статьи, и даже дольше, чтобы быть понятым и получить влияние и влияние, которых он заслуживает,” сказал Джозеф Аврон, профессор физики в Технионе-Израильском технологическом институте, писать в апрель 2018 Новостная рассылка Международной ассоциации математической физики.

Говорит Михалакис, “Набор предположений, необходимых для доказательства результата, оказался меньше, чем ожидали эксперты., подразумевая, что макроскопические квантовые эффекты, как квантовый эффект Холла, должны возникать в нескольких различных условиях. Это открывает новые возможности и способы мышления о квантовых вычислениях и других квантовых науках.”

Источник:

HTTP://www.caltech.edu, Уитни Clavin