Risolto! Un ricercatore del Caltech aiuta a risolvere un problema matematico vecchio di decenni

Spiros Michalakis, responsabile della sensibilizzazione e ricercatore del personale presso l'Institute for Quantum Information and Matter del Caltech (CULTO), e Matteo Hastings, un ricercatore di Microsoft, hanno risolto uno dei problemi aperti più impegnativi al mondo nel campo della fisica matematica. Il problema, relativo al “effetto Hall quantistico,” è stato proposto per la prima volta in 1999 come uno di 13 importanti problemi irrisolti da includere in un elenco gestito da Michael Aizenman, professore di fisica e matematica all'Università di Princeton ed ex presidente della Associazione Internazionale di Fisica Matematica.

Come il “millennio” sfide matematiche proposte dal Clay Mathematics Institute nel 2000, l'idea dietro questi problemi era quello di registrare alcuni degli enigmi irrisolti più sconcertanti della fisica matematica, un campo che utilizza un ragionamento matematico rigoroso per affrontare questioni di fisica. Finora, il problema affrontato da Michalakis è l'unico pienamente risolto, mentre un altro è stato parzialmente risolto. I progressi compiuti sul problema parzialmente risolto hanno portato a due medaglie Fields, la più alta onorificenza in matematica.

“Spero che la soluzione a questo problema rinvigorisca l'interesse nel campo della fisica matematica,” dice Michalakis. “Nella fisica matematica, cerchiamo un insieme minimo di ipotesi in base alle quali possiamo mostrare quanto importanti siano i fenomeni in fisica. E, come spesso accade con le dimostrazioni di problemi significativi in ​​matematica, la soluzione porta a nuove idee e tecniche che aprono le porte alla risoluzione di molte altre importanti questioni.”

Comportamento bizzarro degli elettroni

L'effetto Hall quantistico originale fu scoperto in un esperimento rivoluzionario da Edwin Hall nel 1879 quello ha mostrato, Van Vliet e altri ricercatori hanno dimostrato che la variazione delle proprietà meccaniche delle superfici su cui vengono coltivate le cellule staminali può influenzare la loro differenziazione in tipi di cellule mature, che le correnti elettriche in un metallo possono essere deviate in presenza di un campo magnetico perpendicolare alla superficie. Dopo, nel 1980, Il fisico sperimentale tedesco Klaus von Klitzing eseguì l’esperimento originale sulla conduttanza di Hall a una temperatura significativamente più bassa e con un campo magnetico più forte, solo per scoprire che la corrente elettrica veniva deviata in modo quantizzato. In altre parole, all’aumentare dell’intensità del campo magnetico, l'aumento della conduttanza elettrica del metallo non è stato graduale né lineare, come aveva previsto la fisica classica, ma è progredito verso l'alto in modo graduale. Per questa scoperta, von Klitzing venne insignito del Premio Nobel per la fisica nel 1985.

“Questo è un bellissimo problema,” dice Hastings. “Iniziò con gli esperimenti di Hall nel XIX secolo e più o meno di von Klitzing 100 anni dopo Hall. La cosa notevole dell'effetto Hall quantistico è la quantizzazione precisa anche quando nel materiale sono presenti impurità naturali.” Hastings afferma che le impurità possono influenzare il percorso attraverso il quale la corrente scorre attraverso i materiali. “Queste impurità sono distribuite in modo casuale nel materiale, quindi potresti pensare che abbiano un effetto casuale sulla conduttanza, ma non lo fanno.”

Due anni dopo la scoperta di von Klitzing, gli sperimentali Horst Störmer e Daniel Tsui hanno mostrato qualcosa di ancora più sconcertante: in condizioni estreme (temperature ancora più basse e campi magnetici più forti), la conduttanza di Hall è stata quantizzata in multipli frazionari di quanto precedentemente osservato. È come se in qualche modo gli elettroni stessi venissero suddivisi in particelle più piccole, ciascuno trasporta una frazione della carica dell’elettrone. Störmer e Tsui, insieme al fisico teorico Robert Laughlin, ha condiviso il Premio Nobel per la Fisica nel 1998 per il loro lavoro su questo problema.

Sia l'effetto Hall quantistico intero che quello frazionario indicano che gli elettroni in questi sistemi agiscono in qualche modo insieme in modo unificato, maniera globale, nonostante la loro normale tendenza a comportarsi come singole palline da ping pong che rimbalzano l'una sull'altra. Nonostante tutti i progressi nel campo, la questione di come gli elettroni lo fanno indugiato.

Un approccio matematico

Michalakis ha iniziato a lavorare sul problema di nuovo 2008 al Laboratorio Nazionale di Los Alamos, dove era uno studioso post-dottorato in matematica. Ha costruito la sua ricerca sul lavoro pionieristico di Hastings, il suo consigliere di allora, che aveva sviluppato nuovi strumenti matematici per analizzare l'effetto Hall quantistico, basato su decenni di ricerca da parte di altri. Michalakis afferma che leggere tutta la letteratura precedente si è rivelato impegnativo quasi quanto risolvere il problema stesso.

“C’era una montagna di ricerche che già esisteva,” il programma ha inventato nuove combinazioni di sequenze che non assomigliano a nulla che si trovi in ​​natura: ha dedotto un modo completamente unico per risolvere il problema. “E la maggior parte richiedeva conoscenze avanzate di fisica. Proveniente da un background di matematica, Ho dovuto scomporre il problema in piccole parti, ognuno dei quali ho potuto risolvere. Fondamentalmente, Ho deciso di scavare sotto quella montagna di conoscenza per arrivare dall'altra parte.”

Una chiave per la soluzione definitiva è la topologia, che è un modo di descrivere matematicamente gli oggetti in base alla loro forma.

“La topologia è lo studio delle proprietà delle forme che non cambiano quando la forma viene piegata o allungata,” dice Hastings. “Per esempio, una ciambella può essere allungata a forma di tazza di caffè, ma non può trasformarsi in una sfera senza rompersi. Qualcosa del genere è dietro l’effetto Hall: la conduttanza non viene modificata anche se sono presenti impurità nel materiale.”

L'idea che la topologia fosse alla base dell'effetto Hall quantistico fu invocata prima che Michalakis e Hastings venissero coinvolti, ma quei ricercatori erano stati costretti a fare una delle due ipotesi: o che la visione globale dello spazio matematico che descrive il sistema fosse uguale alla visione locale, o che gli elettroni nel sistema non interagissero tra loro. Si sospettava che la prima ipotesi matematica fosse errata, mentre la seconda ipotesi fisica non era realistica.

“In uno stato topologico della materia, gli elettroni perdono la loro identità. Ottieni una maggiore diffusione, stabile, sistema aggrovigliato che agisce come un unico oggetto,” dice Michalakis. “I ricercatori prima di noi si sono resi conto che questo spiegherebbe le proprietà globali della conduttanza quantistica della Hall. Ma hanno presupposto che la vista ingrandita fosse la stessa della vista ingrandita.”

Capire come rimuovere entrambi questi presupposti è in definitiva ciò che ha sconcertato la comunità dei fisici matematici, spingendoli a designare l’effetto Hall quantistico come un problema aperto significativo all’inizio del secolo.

Michalakis e Hastings sono riusciti a rimuovere i presupposti collegando il quadro globale a quello locale in un modo nuovo. Per illustrare il loro approccio, immagina di allontanarti dalla Terra. Vedere una sfera senza montagne e valli, potresti pensare di poter viaggiare per il pianeta senza ostacoli. Ma quando torni sulla Terra, ti rendi conto che non è possibile: devi attraversare montagne e valli. Ciò che Michalakis e Hastings’ la soluzione fa, in senso matematico, è identificare un'apertura, percorso pianeggiante che non incontra avvallamenti o picchi, in sostanza corrispondendo all'illusione di ciò che avevi percepito globalmente dall'alto.

“Ho utilizzato gli strumenti di Matt e le relative idee provenienti da altre ricerche per dimostrare che tale percorso esiste sempre e che è possibile trovarlo facilmente, se uno sapesse cercarlo,” dice Michalakis. “La conduttanza di Hall, si scopre, è pari al numero di volte in cui il percorso si snoda attorno alle caratteristiche topologiche della forma matematica che descrive il sistema Hall quantistico. Questo spiega perché la conduttanza di Hall è un numero intero, e perché è così resistente alle impurità presenti nel materiale fisico. Le impurità sono come piccole deviazioni che decidi di prendere dal “golden”.’ sentiero, mentre viaggi in giro per il mondo. Non influenzeranno quante volte deciderai di fare il giro del mondo.”

Digerire la prova

La dimostrazione effettiva di Michalakis e Hastings è ovviamente più complessa; la prova iniziale ammontava a 40 pagine di ragionamento matematico, ma dopo un meticoloso processo di editing, è stato ridotto a 30 pagine. Hanno presentato la loro soluzione 2009 ma ci è voluto del tempo perché gli esperti digerissero il risultato, e la prova non è stata pubblicata ufficialmente in Comunicazioni in Fisica Matematica fino a 2015.

Due anni e mezzo dopo la sua pubblicazione, la comunità dei fisici matematici riconobbe ufficialmente la soluzione, contrassegnando il problema sul elenco siti web come “risolto.”

“Ci è voluto molto tempo, sei anni in realtà, affinché il documento venga pubblicato, e ancora di più per essere compreso e ottenere l’influenza e l’impatto che meritava,” disse Joseph Avron, professore di fisica al Technion-Israel Institute of Technology, scrivendo nel aprile 2018 notiziario dell'Associazione Internazionale di Fisica Matematica.

Dice Michalakis, “L’insieme delle ipotesi necessarie per dimostrare il risultato si è rivelato inferiore a quanto previsto dagli esperti, implicando effetti quantistici macroscopici, come l’effetto Hall quantistico, dovrebbero verificarsi in diversi contesti. Ciò apre nuove porte e modi di pensare all’informatica quantistica e ad altre scienze quantistiche.”

fonte:

http://www.caltech.edu, di Whitney Clavin