Sudoku Blank Grid jest używany w symetrii Sudoku,pociąga za sobą wiersze i kolumny 4×4,16×16 i więcej z małymi i wariantowymi siatkami.

Łamigłówki Sudoku można studiować matematycznie, aby odpowiadać na pytania takie jak “Ile pełnych siatek Sudoku?”, “Jaka jest minimalna liczba podpowiedzi w prawdziwej układance?” oraz “Jak siatki Sudoku mogą być symetryczne??” wykorzystując teorie kombinatoryczne i grupowe.

Główne wyniki dotyczą klasycznego Sudoku, liczba wypełnionych siatek wynosi 6,670,903,752,021,072,936,960 (6.67×1021), który, przy zachowaniu ważności przekształcenia sprowadza się do: 5,472,730,538 znacząco różne grupy.

Są 26 rodzaje symetrii, ale można je znaleźć tylko w około 0.005% wszystkich wypełnionych siatek.

Puzzle z unikalnym rozwiązaniem muszą mieć przynajmniej 17 rozwiązania, a na każdą rozwiązaną kratę jest nie więcej niż 21 rozwiązania. Największa minimalna znaleziona łamigłówka ma 40 wskazówki.

Podobne wyniki są znane dla wariantów i mniejszych siatek. Dokładne wyniki nie są znane w Sudoku bardziej niż w klasycznej siatce 9×9, chociaż istnieją szacunki, które są uważane za dość dokładne.

Rozwiązania obliczeniowe do Sudoku

Ciekawym pytaniem jest, na ile sposobów można 9 za pomocą 9 Siatka Sudoku musi być wypełniona, aby spełnić Jednolitą Regułę?

Innymi słowy, ile istnieje różnych rozwiązań Sudoku? Opisujemy metodę zastosowaną przez Bertrama Felgenhauera i Frasera Jarvisa na początku 2006 obliczyć tę liczbę.

Aby utrzymać standard naszego języka, trzy rzędy klocków nazywamy paskami siatki i trzema kolumnami stosów klocków. Uważa się, że komórka w tym wierszu i j-kolumnie jest w (i,j).

Nazywamy liczbę poszczególnych siatek Sudoku N. Najpierw, nazywamy bloki siatki w następujący sposób:

Ile jest sposobów, aby wypełnić B1 w prawidłowy sposób?? Ponieważ istnieją 9 znaki, które mogą wypełnić B1, jeden w każdej komórce, to jest 9 opcje dla pierwszej komórki.

Dla każdego z nich 9 opcje, są 8 opcje dla drugiej komórki. Dla każdego z nich 8 opcje, są 7 zostawiony do trzeciej celi.

Zasadniczo, obliczamy liczbę permutacji 9 postacie: na ile sposobów możemy umieścić 9 znaki w 9 miejsca, czyli na ile sposobów możemy zamówić 9 rzeczy.

Są 9 sposoby wypełnienia B1. Zaczynając od prawidłowego bloku B1, możemy uzyskać dowolny inny ważny blok B1 poprzez ponowne oznaczenie lub przestawienie numerów.

Więc, pierwszym upraszczającym założeniem, jakie możemy przyjąć, jest to, że B1 jest wypełnione liczbami 1, 2, 3, …, 9 w porządku, jak pokazano niżej.

Teraz możemy obliczyć, ile rzeczywistych zakończeń siatki ma ten konkretny B1: nazwijmy to N1. Całkowita liczba rzeczywistych siatek Sudoku to N1×9!, więc N1=N/9!…

Rozważmy sposoby wypełnienia pierwszych wierszy w B2 i B3. Odkąd 1, 2 oraz 3 występują w pierwszym rzędzie w B1, te liczby nie mogą występować w pozostałych wierszach.

W związku z tym, tylko liczby 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9 z drugiego i trzeciego rzędu B1 mogą spotkać się w pierwszym rzędzie w B2 i B3.

Wymień wszystkie możliwe sposoby wypełnienia pierwszych wierszy w B2 i B3, aż do zmiany kolejności numerów w każdym bloku. Zrób sobie przerwę i bekaj swoje dziecko: Jest na to dziesięć sposobów, aby wymiana B2 i B3 tych dziesięciu sposobów dała ci dziesięć dodatkowych sposobów, łącznie dwadzieścia.

Dwie z tych możliwości nazywamy czystymi górnymi liniami: kiedy liczby {4,5,6}, jak w drugim rzędzie B1, są przechowywane razem w B2, i numery {7,8,9}, jak w trzecim rzędzie B1, są przechowywane razem w B3, i zmienioną wersję tego.

Inne możliwości to mieszane górne linie, jak mieszają zestawy {4,5,6} oraz {7,8,9} gdy używany do wypełniania pierwszych wierszy B2 i B3.

Biorąc pod uwagę te dwadzieścia możliwości dla pierwszej linii siatki (aż do zmiany kolejności numerów w każdym bloku), możemy dowiedzieć się, jak wypełnić pierwszą linię.

Zastanów się, jak możesz ukończyć pierwszy pasek, zaczynając od czystego górnego rzędu 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

(Notatka: Piszemy,b,c oznacza uporządkowaną trójkę liczb i {a,b,C} oznaczać je w dowolnej kolejności.)

Ile jest całkowitych możliwości, zliczanie różnych kolejności numerów w każdym rzędzie w B2 i B3? Czy ta liczba jest taka sama jak w przypadku drugiego czystego górnego rzędu?, 1,2,3;{7,8,9};{4,5,6}?

Pamiętać, chcemy, aby B1 było stałe, ponieważ uwzględniliśmy już liczbę siatek, które można uzyskać, zmieniając w nim dziewięć cyfr.

Okazuje się, że są (3!)⁶ sposoby na ukończenie pierwszego pasma, patrząc czystym górnym rzędem 1,2,3;{4,5,6};{7,8,9}.

To dlatego, że jesteśmy zmuszeni położyć {7,8,9};{1,2,3} w drugim rzędzie w B2 i B3 oraz {1,2,3};{4,5,6} w trzecim rzędzie, a następnie możemy zmienić kolejność trzech cyfr w każdym z sześciu wierszy B2 i B3, aby uzyskać wszystkie konfiguracje.

Odpowiedź jest taka sama dla drugiego czystego górnego rzędu, ponieważ w tym przypadku wszystko co zrobiliśmy to zamiana B2 na B3.

Przypadki mieszanych górnych rzędów są bardziej skomplikowane. Rozważmy górny rząd 1,2,3;{4,6,8};{5,7,9}. Można to uzupełnić do pierwszego zespołu, jak na poniższym obrazku, gdzie, b, i c to liczby 1, 2, 3 w dowolnej kolejności.

Po wybraniu, b i c to dwie pozostałe liczby w dowolnej kolejności, ponieważ są w tym samym rzędzie.

Ponieważ istnieją trzy opcje dla, a trzy cyfry w każdym z sześciu zestawów w B2 i B3 można pominąć, aby uzyskać różne ważne strony tytułowe, łączna liczba konfiguracji w tym przypadku to 3×(3!)6.

Możesz w podobny sposób przeanalizować każdy z pozostałych siedemnastu przypadków w pierwszym rzędzie, aby uzyskać ten sam numer.

Teraz mamy liczbę możliwych stron tytułowych zdefiniowanych przez B1: to jest 2×(3!)6+18×3×(3!)6=2612736, gdzie pierwsza część sumy to liczba uzupełnień pierwszej strony z górnych wierszy netto, a druga to liczba uzupełnień pierwszej strony z mieszanych wierszy górnych.

Zamiast obliczać, ile uzupełnień na pierwszej stronie każdego z nich 2612736 cechy, Felgenhauer i Jarvis ustalili, które strony tytułowe mają taką samą liczbę uzupełnień pierwszej strony od górnego pustego miejsca.

Ta analiza zmniejsza liczbę stron tytułowych, które należy wziąć pod uwagę przy obliczaniu.

Oto kilka operacji, które pozostawiają niezmienioną liczbę zakończeń siatki pierwszego zakresu: zwracanie uwagi na liczby, słuchanie któregoś z bloków z pierwszego zakresu, słuchanie kolumn w dowolnym bloku i słuchanie trzech rzędów zakresu. Z którąkolwiek z tych zmian B1, możemy ponownie zaznaczyć liczby, aby przywrócić ich standardową formę.

Układanie B1, B2 i B3 zachowują liczbę zakończeń siatki, ponieważ jeśli zaczniemy od jakiejkolwiek rzeczywistej siatki Sudoku, jedynym sposobem, aby to było prawdziwe, jest oznaczenie B4, B5, B6 i B7, B8, B9 odpowiednio, aby stosy pozostały takie same.

Innymi słowy, każde rzeczywiste zakończenie sieci na pierwszej stronie daje dokładnie jedno rzeczywiste zakończenie sieci na pierwszej stronie, tj. dowolny B1, B2, Permutacja B3.
Upewnij się, że po zmianie B2 na B3 w następnej siatce Sudoko, jedynym sposobem na utrzymanie poprawności siatki jest zmiana B5 na B6 i B7 na B8. Dzięki temu stosy pozostaną takie same, chociaż ich lokalizacja się zmieniła.

Jeśli masz poprawną siatkę Sudoku i pomijasz kolumny w którymkolwiek z B1, B2 i B3, co musisz zrobić z kolumnami reszty siatki Sudoku, aby zachować poprawność?? Na przykład, jeśli zmieniłeś kolumny 1 oraz 2 z B2 na powyższej siatce, jak naprawisz wynikową siatkę, aby spełniała Jedyną Zasadę??

Ostatnie ćwiczenie mówi nam, że każde wypełnienie siatki pierwszego rzędu daje unikalne wypełnienie siatki pierwszego rzędu kolumnami pominiętymi wewnątrz bloków.

Takie względy pozwalają nam zmniejszyć liczbę konkretnych stron tytułowych, które należy brać pod uwagę przy liczeniu.

Śladami Felgenhauera i Jarvisa, przewijamy kolumny B2 i B3, aby wpisy w górnym wierszu każdej kolumny były w porządku rosnącym, a następnie w razie potrzeby zamień B2 i B3, aby pierwszy wpis B2 był mniejszy niż wpis B3.

Nazywa się to skrótem leksykograficznym.

Ponieważ każdy z dwóch bloków ma 6 rearanżacje kolumn i dwa sposoby rearanżacji bloków, stenografia leksykograficzna mówi nam, że, biorąc pod uwagę pierwszą stronę, jest 62×2=72 inne strony tytułowe z taką samą liczbą zakończeń siatki.

Więc teraz mamy tylko 2612736/72=36288 pierwszych stron do rozważenia.

Dla każdej z tych możliwości spójrzmy na rearanżacje wszystkich trzech górnych bloków: są 6. Dla każdego z nich są 63 rearanżacje kolumn w obrębie każdego bloku.

Po wykonaniu tych operacji, ponownie zaznaczamy, aby przywrócić B1 do jego standardowej formy.

podobnie, możemy nadpisać trzy górne wiersze grupy i ponownie zaznaczyć, aby przywrócić B1 do standardowej formy. Te operacje oszczędzają liczbę ukończeń siatki pierwszego rzędu.

Felgenhauer i Jarvis użyli programu komputerowego, aby ustalić, że te operacje zmniejszają liczbę stron tytułowych, które należy wziąć pod uwagę 36288 tylko 416.

Rozważmy tę pierwszą grupę.

Wykonuj na nim różne operacje, które zapisują liczbę zakończeń siatki. Możesz zacząć od następujących: Zamień pierwszy i drugi rząd. Zaznacz go ponownie, aby B1 był w swojej standardowej formie. Leksykograficznie zmniejsz tę siatkę.

Najważniejsze jest to, że grupa, z którą zacząłeś i druga grupa, z którą skończyłeś, mają tę samą liczbę ukończeń aż do pełnej siatki Sudoku.

Zatem, zamiast obliczania liczby zakończeń siatki dla każdej z tych grup, możemy to obliczyć tylko dla jednego z nich.

Jest więcej kroków, które zmniejszają liczbę siatek do rozważenia. Jeśli mamy parę cyfr {a,b} w jednej kolumnie z a w i-tym rzędzie i bw j-tym rzędzie, i ta sama para w innej kolumnie z b w i-tym rzędzie i a w j-tym rzędzie, każda para będzie miała opaskę z taką samą liczbą zakończeń siatki jak oryginał.

Dzieje się tak, ponieważ każda para leży w tej samej kolumnie, i kiedy oba są zmieniane w tym samym czasie, zapisywana jest jedna reguła, co również odpowiada zaangażowanym rzędom.

Jako przykład, spójrz na liczby 8 oraz 9 w szóstej i dziewiątej kolumnie powyższego przykładu. Rozważ wszystkie możliwe przypadki pozostawienia Felgenhauera i Jarvisa z 174 pierwszego 416 grupy do kontynuacji.

Rozważyli również inne konfiguracje tego samego zestawu liczb leżących w dwóch różnych kolumnach lub wierszach, które można pominąć w ich kolumnach lub wierszach, pozostawienie niezmiennej liczby zakończeń siatki.

Zmniejszyło to liczbę pierwszych stron do 71, i poszukiwanie każdego z nich 71 sprawy uświadomiły im, że w rzeczywistości są tylko 44 strony tytułowe, na których należy znaleźć liczbę uzupełnień siatki.

Każdy z tych 44 zespoły mają taką samą liczbę zakończeń do pełnej siatki.

Niech C oznacza jeden z nich 44 paski. Następnie możesz obliczyć liczbę sposobów, w jakie C może przejść do pełnej siatki Sudoku: nazwij to nc.

Potrzebujemy również liczby stron głównych mC, które mają tę samą liczbę zakończeń nC siatki. Następnie, całkowita liczba siatek Sudoku to tylko N=ΣCmCnC, lub suma mCnC dla wszystkich 44 paski.

Felgenhauer i Jarvis napisali program komputerowy do wykonywania ostatecznych obliczeń.

Obliczyli liczbę N1 prawidłowych uzupełnień z B1 w standardowym formularzu, zaczynając od 44 pasy. Następnie pomnożyli tę liczbę przez 9! uzyskać odpowiedź.

Odkryli, że liczba możliwych 9 za pomocą 9 Siatki Sudoku to N=6670903752021072936960, czyli około 6,671×1021.

Artykuł i źródło obrazu:

http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2009/Mahmood/Count.html