แก้ไขแล้ว! นักวิจัยของ Caltech ช่วยถอดรหัสปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่หลายทศวรรษ

สปิรอส มิชาลากิส, ผู้จัดการฝ่ายประชาสัมพันธ์และนักวิจัยเจ้าหน้าที่ของสถาบันข้อมูลและเรื่องควอนตัมของ Caltech (สักการะ), และแมทธิว เฮสติงส์, นักวิจัยที่ Microsoft, ได้แก้ไขปัญหาเปิดที่ท้าทายที่สุดปัญหาหนึ่งของโลกในสาขาฟิสิกส์คณิตศาสตร์. ปัญหา, ที่เกี่ยวข้องกับ “เอฟเฟกต์ควอนตัมฮอลล์,” ถูกเสนอครั้งแรกใน 1999 เป็นหนึ่งใน 13 ปัญหาสำคัญที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขจะถูกรวมไว้ในรายการที่ดูแลโดย Michael Aizenman, ศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน และอดีตอธิการบดีของ สมาคมฟิสิกส์คณิตศาสตร์นานาชาติ.

ชอบ “สหัสวรรษ” ความท้าทายทางคณิตศาสตร์ที่สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์นำเสนอ 2000, ความคิดเบื้องหลัง ปัญหาเหล่านี้ คือการบันทึกปริศนาที่ยังไม่แก้ปริศนาที่น่างงมากที่สุดในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นสาขาที่ใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดเพื่อตอบคำถามทางฟิสิกส์. จนถึงตอนนี้, ปัญหาที่ดำเนินการโดยมิชาลาคิสเป็นเพียงปัญหาเดียวเท่านั้นที่ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์, ในขณะที่อีกส่วนหนึ่งได้รับการแก้ไขแล้วบางส่วน. ความคืบหน้าในการแก้ไขปัญหาที่แก้ไขได้บางส่วนส่งผลให้ได้รับเหรียญ Fields สองเหรียญ, เกียรติสูงสุดในวิชาคณิตศาสตร์.

“ฉันหวังว่าการแก้ปัญหานี้จะช่วยกระตุ้นความสนใจในสาขาฟิสิกส์คณิตศาสตร์,” มิชาลาคิสกล่าว. “ในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์, เรามองหาชุดสมมติฐานขั้นต่ำที่เราสามารถแสดงให้เห็นว่าปรากฏการณ์สำคัญในฟิสิกส์เกิดขึ้นได้อย่างไร. และ, ดังเช่นที่เคยเกิดขึ้นกับการพิสูจน์ปัญหาสำคัญทางคณิตศาสตร์, การแก้ปัญหานำไปสู่แนวคิดและเทคนิคใหม่ๆ ที่เปิดประตูสู่การแก้ไขคำถามสำคัญอื่นๆ อีกหลายข้อ”

พฤติกรรมของอิเล็กตรอนที่แปลกประหลาด

เอฟเฟกต์ควอนตัมฮอลล์ดั้งเดิมถูกค้นพบในการทดลองที่แหวกแนวโดย Edwin Hall 1879 นั่นแสดงให้เห็น, สำหรับครั้งแรก, กระแสไฟฟ้าในโลหะสามารถเบี่ยงเบนได้เมื่อมีสนามแม่เหล็กตั้งฉากกับพื้นผิว. กระแสไฟฟ้าถูกมองว่าเป็นการไหลของประจุบวกจากขั้วบวกไปยังขั้วลบ, ใน 1980, นักฟิสิกส์ทดลองชาวเยอรมัน เคลาส์ ฟอน คลิทซิง ทำการทดลองการนำไฟฟ้าดั้งเดิมของฮอลล์ที่อุณหภูมิต่ำกว่ามากและมีสนามแม่เหล็กที่แรงกว่า, เพียงเพื่อจะพบว่ากระแสไฟฟ้าถูกเบี่ยงเบนไปในลักษณะเชิงปริมาณ. กล่าวอีกนัยหนึ่ง, เมื่อความแรงของสนามแม่เหล็กเพิ่มขึ้น, การเพิ่มขึ้นของค่าการนำไฟฟ้าของโลหะไม่ใช่แบบค่อยเป็นค่อยไปหรือเป็นเส้นตรง, ดังที่ฟิสิกส์คลาสสิกทำนายไว้, แต่ก้าวหน้าไปทีละขั้น. สำหรับการค้นพบครั้งนี้, von Klitzing ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1985.

“นี่เป็นปัญหาที่สวยงาม,” เฮสติ้งส์กล่าว. “เริ่มต้นด้วยการทดลองโดยฮอลล์ในศตวรรษที่ 19 และโดยฟอน คลิทซิงอย่างคร่าว ๆ 100 หลายปีหลังจากฮอลล์. สิ่งที่น่าทึ่งเกี่ยวกับเอฟเฟกต์ควอนตัมฮอลล์คือการหาปริมาณที่แม่นยำ แม้ว่าจะมีสิ่งเจือปนตามธรรมชาติอยู่ในวัสดุก็ตาม” Hastings กล่าวว่าสิ่งสกปรกอาจส่งผลต่อเส้นทางที่กระแสไหลผ่านวัสดุ. “สิ่งเจือปนเหล่านี้กระจายแบบสุ่มในวัสดุ ดังนั้นคุณอาจคิดว่าสิ่งเหล่านี้จะส่งผลต่อสื่อกระแสไฟฟ้าแบบสุ่ม, แต่พวกเขาไม่ได้”

สองปีหลังจากการค้นพบของฟอน คลิทซิง, นักทดลอง Horst Störmer และ Daniel Tsui แสดงให้เห็นบางสิ่งที่น่างงงวยยิ่งกว่าเดิม: ภายใต้สภาวะที่รุนแรง (อุณหภูมิที่ต่ำกว่าและสนามแม่เหล็กที่แรงกว่าด้วยซ้ำ), ความนำไฟฟ้าของฮอลล์ถูกหาปริมาณเป็นทวีคูณเศษส่วนของสิ่งที่เคยสังเกตมาก่อนหน้านี้. ราวกับว่าอิเล็กตรอนกำลังถูกแยกออกเป็นอนุภาคที่เล็กลง, แต่ละอันมีประจุเพียงเศษเสี้ยวของอิเล็กตรอน. สเติร์เมอร์ และ ซุย, พร้อมด้วยนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎี โรเบิร์ต ลาฟลิน, ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี พ.ศ 1998 สำหรับงานของพวกเขาในเรื่องนี้.

เอฟเฟกต์ฮอลล์ควอนตัมทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วนบ่งชี้ว่าอิเล็กตรอนในระบบเหล่านี้ทำหน้าที่ร่วมกันในลักษณะที่เป็นหนึ่งเดียว, ลักษณะที่เป็นสากล, แม้จะมีแนวโน้มปกติที่จะมีพฤติกรรมเหมือนลูกปิงปองที่กระเด็นกันก็ตาม. แม้จะมีความก้าวหน้าในด้านนี้ก็ตาม, คำถามของ อย่างไร อิเล็กตรอนก็ทำเช่นนี้อยู่เรื่อย.

แนวทางคณิตศาสตร์

มิชาลาคิสเริ่มทำงานกับปัญหากลับเข้ามา 2008 ที่ห้องปฏิบัติการแห่งชาติลอส อลามอส, โดยที่เขาเป็นนักวิชาการหลังปริญญาเอกสาขาคณิตศาสตร์. เขาสร้างงานวิจัยของเขาเกี่ยวกับงานบุกเบิกโดยเฮสติ้งส์, ที่ปรึกษาของเขาในขณะนั้น, ที่ได้พัฒนาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใหม่สำหรับการพิจารณาผลกระทบควอนตัมฮอลล์, จากการวิจัยหลายทศวรรษของผู้อื่น. มิชาลาคิสกล่าวว่าการอ่านวรรณกรรมก่อนหน้านี้ทั้งหมดพิสูจน์ให้เห็นว่าเกือบจะท้าทายพอๆ กับการแก้ปัญหาด้วยตัวมันเอง.

“มีการวิจัยมากมายที่มีอยู่แล้ว,” เขาพูดว่า. “และส่วนใหญ่ต้องการความรู้ขั้นสูงด้านฟิสิกส์. มาจากพื้นฐานคณิต, ฉันต้องแบ่งปัญหาออกเป็นชิ้นเล็กๆ, แต่ละสิ่งที่ฉันสามารถแก้ไขได้. โดยทั่วไป, ฉันตัดสินใจขุดใต้ภูเขาแห่งความรู้เพื่อไปอีกฝั่งหนึ่ง”

กุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาขั้นสูงสุดคือโทโพโลยี, ซึ่งเป็นวิธีการอธิบายวัตถุตามรูปร่างทางคณิตศาสตร์.

“โทโพโลยีคือการศึกษาคุณสมบัติของรูปร่างที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อรูปร่างงอหรือยืดออก,” เฮสติ้งส์กล่าว. “ตัวอย่างเช่น, โดนัทสามารถยืดเป็นรูปถ้วยกาแฟได้, แต่มันไม่สามารถกลายเป็นทรงกลมโดยไม่ฉีกขาดได้. บางสิ่งเช่นนี้อยู่เบื้องหลังเอฟเฟกต์ฮอลล์: ค่าการนำไฟฟ้าจะไม่เปลี่ยนแปลงแม้ว่าจะมีสิ่งเจือปนอยู่ในวัสดุก็ตาม”

แนวคิดที่ว่าโทโพโลยีอยู่เบื้องหลังเอฟเฟกต์ควอนตัมฮอลล์ถูกหยิบยกขึ้นมาก่อนที่มิชาลาคิสและเฮสติงส์จะเข้ามาเกี่ยวข้อง, แต่นักวิจัยเหล่านั้นถูกบังคับให้ตั้งสมมติฐานข้อใดข้อหนึ่ง - ไม่ว่ามุมมองทั่วโลกของพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายระบบจะเท่ากับมุมมองในท้องถิ่น, หรือว่าอิเล็กตรอนในระบบไม่มีปฏิสัมพันธ์กัน. สมมติฐานทางคณิตศาสตร์ข้อแรกถูกสงสัยว่าไม่ถูกต้อง, ในขณะที่สมมติฐานทางกายภาพครั้งที่สองนั้นไม่เป็นจริง.

“ในสถานะทอพอโลยีของสสาร, อิเล็กตรอนสูญเสียตัวตนไป. คุณได้รับการแพร่กระจายมากขึ้น, มั่นคง, ระบบที่พันกันซึ่งทำหน้าที่เหมือนวัตถุชิ้นเดียว,” มิชาลาคิสกล่าว. “นักวิจัยก่อนหน้าเราตระหนักว่าสิ่งนี้จะอธิบายคุณสมบัติโดยรวมของตัวนำไฟฟ้าของควอนตัมฮอลล์. แต่พวกเขาตั้งสมมติฐานว่ามุมมองที่ซูมเข้าเหมือนกับมุมมองที่ซูมออก”

การหาวิธีกำจัดสมมติฐานทั้งสองนี้ทำให้ชุมชนฟิสิกส์คณิตศาสตร์ต้องหยุดชะงักในที่สุด, การกระตุ้นให้พวกเขากำหนดควอนตัมฮอลล์ทำให้เกิดปัญหาเปิดที่สำคัญในช่วงเปลี่ยนศตวรรษ.

Michalakis และ Hastings ประสบความสำเร็จในการขจัดข้อสันนิษฐานโดยการเชื่อมโยงภาพระดับโลกเข้ากับภาพท้องถิ่นด้วยวิธีใหม่. เพื่อแสดงให้เห็นแนวทางของพวกเขา, ลองนึกภาพการซูมออกไปจากโลก. มองเห็นทรงกลมที่ไม่มีภูเขาและหุบเขา, คุณอาจคิดว่าคุณสามารถเดินทางรอบโลกโดยไม่มีอุปสรรค. แต่เมื่อคุณกลับมายังโลก, คุณตระหนักดีว่าเป็นไปไม่ได้—คุณต้องเดินทางข้ามภูเขาและหุบเขา. มิชาลาคิสและเฮสติ้งส์คืออะไร’ วิธีแก้ปัญหาทำ, ในแง่คณิตศาสตร์, คือการระบุการเปิด, ทางเรียบที่ไม่พบกับจุดลงหรือจุดยอดใดๆ, โดยพื้นฐานแล้วตรงกับภาพลวงตาของสิ่งที่คุณรับรู้ทั่วโลกจากเบื้องบน.

“ฉันใช้เครื่องมือของ Matt และแนวคิดที่เกี่ยวข้องจากการวิจัยอื่นๆ เพื่อแสดงให้เห็นว่าเส้นทางดังกล่าวมีอยู่เสมอและสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย, หากใครรู้ว่าจะมองหามันอย่างไร,” มิชาลาคิสกล่าว. “สื่อนำของห้องโถง, ปรากฎว่า, เท่ากับจำนวนครั้งที่เส้นทางคดเคี้ยวรอบคุณลักษณะทอพอโลยีของรูปทรงทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายระบบควอนตัมฮอลล์. นั่นอธิบายว่าทำไมสื่อนำของฮอลล์จึงเป็นจำนวนเต็ม, และเหตุใดจึงทนทานต่อสิ่งเจือปนในวัสดุทางกายภาพ. สิ่งสกปรกเป็นเหมือนทางอ้อมเล็ก ๆ ที่คุณตัดสินใจไปจาก 'ทองคำ'’ เส้นทาง, ในขณะที่คุณเดินทางรอบโลก. จะไม่ส่งผลต่อจำนวนครั้งที่คุณตัดสินใจเดินทางรอบโลก”

การย่อยหลักฐาน

การพิสูจน์ที่แท้จริงของมิชาลาคิสและเฮสติ้งส์นั้นซับซ้อนกว่าแน่นอน; หลักฐานเบื้องต้นมีจำนวน 40 หน้าการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์, แต่หลังจากผ่านกระบวนการแก้ไขอย่างอุตสาหะ, ถูกตัดลงไป 30 หน้า. พวกเขาส่งวิธีแก้ปัญหามาใน 2009 แต่ผู้เชี่ยวชาญต้องใช้เวลาในการแยกแยะผลลัพธ์, และหลักฐานดังกล่าวไม่ได้รับการเผยแพร่อย่างเป็นทางการใน การสื่อสารทางฟิสิกส์คณิตศาสตร์ จนกระทั่ง 2015.

สองปีครึ่งหลังจากตีพิมพ์, ชุมชนนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ยอมรับวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการ, ทำเครื่องหมายปัญหาบน รายการเว็บไซต์ เช่น “แก้ไขแล้ว”

“มันใช้เวลานาน, หกปีในความเป็นจริง, เพื่อจะได้ตีพิมพ์ผลงาน, และนานกว่านั้นเพื่อให้เข้าใจและได้รับอิทธิพลและผลกระทบที่สมควรได้รับ,” โจเซฟ เอวอนกล่าว, ศาสตราจารย์วิชาฟิสิกส์ที่ Technion-Israel Institute of Technology, เขียนใน เมษายน 2018 จดหมายข่าว ของสมาคมฟิสิกส์คณิตศาสตร์นานาชาติ.

มิชาลาคิสกล่าว, “ชุดสมมติฐานที่จำเป็นในการพิสูจน์ผลลัพธ์มีขนาดเล็กกว่าที่ผู้เชี่ยวชาญคาดไว้, หมายความว่าผลกระทบควอนตัมมหภาค, เหมือนเอฟเฟกต์ควอนตัมฮอลล์, ควรเกิดขึ้นในสภาวะต่างๆ กัน. นี่เป็นการเปิดประตูใหม่และวิธีคิดเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ควอนตัมและวิทยาศาสตร์ควอนตัมอื่นๆ”

แหล่งที่มา:

http://www.caltech.edu, โดย วิทนีย์ คลาวิน